Question

有一豎直放置、兩端封閉的長玻璃管，管內(nèi)為真空，管內(nèi)有一小球自某處自由下落（初速度為零），落到玻璃管底部時(shí)與底部發(fā)生彈性碰撞．以后小球?qū)⒃诓ＡЧ軆?nèi)不停地上下跳動(dòng)．現(xiàn)用支架固定一照相機(jī)，用以拍攝小球在空間的位置．每隔一相等的確定的時(shí)間間隔T拍攝一張照片，照相機(jī)的曝光時(shí)間極短，可忽略不計(jì)．從所拍到的照片發(fā)現(xiàn)，每張照片上小球都處于同一位置．求小球開始下落處離玻璃管底部距離（用H表示）的可能值以及與各H值相應(yīng)的照片中小球位置離玻璃管底部距離的可能值．

Answer 1

解：小球沿豎直線上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其離開玻璃管底部的距離h隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示．設(shè)照片拍攝到的小球位置用A表示，A離玻璃管底部的距離為h_A，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為H．小球可以在下落的過程中經(jīng)過A點(diǎn)，也可在上升的過程中經(jīng)過A點(diǎn)．現(xiàn)以τ表示小球從最高點(diǎn)（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升到最高點(diǎn)所需的時(shí)間），τ₁表示小球從最高點(diǎn)下落至A點(diǎn)所需的時(shí)間（也就是從A點(diǎn)上升至最高點(diǎn)所需的時(shí)間），τ₂表示小球從A點(diǎn)下落至玻璃管底部所需的時(shí)間（也就是從玻璃管底部反跳后上升至A點(diǎn)所需的時(shí)間）．顯然，τ₁+τ₂=τ．根據(jù)題意，在時(shí)間間隔T 的起始時(shí)刻和終了時(shí)刻小球都在A點(diǎn)．用n表示時(shí)間間隔 T 內(nèi)（包括起始時(shí)刻和終了時(shí)刻）小球位于A點(diǎn)的次數(shù)（n≥2）．下面分兩種情況進(jìn)行討論：

1．A點(diǎn)不正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有
T=（n-1）τ₁+（n-1）τ₂=（n-1）τ n=3，5，7，…（1）
在（1）式中，根據(jù)題意τ₁可取0＜τ₁＜τ中的任意值，而
τ₂=τ-τ₁ （2）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有
T=nτ₂+（n-2）τ₁=nτ₁+（n-2）τ₂ n=2，4，6，…（3）
由（3）式得τ₁=τ₂ （4）
由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有
T=（n-1）τ n=2，3，4，…（5）
因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為
τ²= n=2，3，4，…（6）
若用H_n表示與n對應(yīng)的H值，則與H_n相應(yīng)的A點(diǎn)到玻璃管底部的距離
τ² n=2，3，4，…（7）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，τ₁可取0＜τ₁＜τ中的任意值，故有
0＜h_A＜H_n[]n=3，5，7，???（8）
可見與H_n相應(yīng)的h_A的可能值為0與H_n之間的任意值．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，τ₁=τ，由（6）式、（7）式求得H_n的可能值
[]n=2，4，6，????（9）
2．若A點(diǎn)正好在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都有
T=2（n-1）τ n=2，3，4，???（10）
τ²= n=2，3，4，???（11）
h_A=H_n {} n=2，3，4，???（12）
或 h_A=0 （13）
分析：畫出高度隨時(shí)間變化的圖象，然后結(jié)合圖象進(jìn)行分析討論，要分情況討論并考慮重復(fù)性．
點(diǎn)評：本題是第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題，難度大，關(guān)鍵是畫出高度隨時(shí)間變化的圖象，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析討論．