Question

15．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場，在圓心為C半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強磁場．在原點O放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它發(fā)射出具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度大小為v的帶電微粒，速度方向分布在xOy平面第一和第二象限內(nèi)的各個方向上．重力加速度大小為g．已知從O點沿y軸正方向豎直向上發(fā)射的帶電微粒射出磁場區(qū)域后一直平行于x軸作直線運動打到PN熒光屏上，PN熒光屏垂直x軸，PN屏的長度大于2R．
（1）求電場強度和磁感應強度的大小和方向．
（2）求PN屏上光斑長度
（3）若撤除勻強磁場，且保持勻強電場的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子a落到圓周上D點（圖中未畫出）時的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點的速度都要大．求初速度v的大小？當粒子a恰好落到圓周上D點時，是否還有其它粒子同時落到圓周上．若有，求出其它粒子在圓周上的落點到D點的距離；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電微粒所受重力與電場力平衡求出電場強度的大小與方向；由幾何關系確定粒子做圓周運動的半徑，然后根據(jù)半徑公式求出磁感應強度；
（2）為使這些帶電微粒經(jīng)磁場偏轉后沿x軸負方向運動．由圖可知，它們必須從經(jīng)O點作圓運動的各圓的最高點飛離磁場，結合數(shù)學知識求出符合條件的磁場區(qū)域的圓方程，最后求出PN屏上光斑長度．
（3）沒有磁場時，粒子在豎直方向做勻減速運動，水平方向做勻變速運動，可以先求出合力，然后使用拋體運動的規(guī)律解答．

解答 解：（1）帶電微粒射出磁場區(qū)域后一直平行于x軸作直線運動，說明重力和電場力平衡．
由mg=qE  可得：E=$\frac{mg}{q}$，方向沿y軸正方向．
帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動．依題意得 r=R
由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
  得：$B=\frac{mv}{qR}$  方向垂直于紙面向外

（2）因為 r=R，對任意一個速度，四邊形OCBO₂為菱形，則BO₂平行OC，
帶電微粒射出磁場區(qū)域后平行于x軸作直線運動
則PN屏上光斑長度為2R  
（3）小球做類平拋運動a=$\sqrt{2}$g，方向沿CD方向
$\overline{OG}=\frac{\sqrt{2}}{2}R=vt$    
$\overline{OA}=\overline{GD}=R-\frac{\sqrt{2}}{2}R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$  
$v=\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+1）gR}{2}}$   


如圖根據(jù)運動的合成和圓的對稱性可知：另一個粒子落在圓周的B點：sin∠CAD=$\frac{R}{\sqrt{{R}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}R）^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\overline{BD}=2\overline{AD}sin∠CAD=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
答：（1）電場強度和磁感應強度的大小$\frac{mv}{qR}$，方向垂直于紙面向外；
（2）PN屏上光斑長度是2R；
（3）若撤除勻強磁場，且保持勻強電場的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子a落到圓周上D點（圖中未畫出）時的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點的速度都要大．初速度v的大小是$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}+1）gR}{2}}$；當粒子a恰好落到圓周上D點時，還有其它粒子同時落到圓周上．另一個粒子落在圓周的B點：sin∠CAD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；BD之間的距離：$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$．

點評 本題的關鍵與難點是由數(shù)學知識求是否還有其它粒子同時落到圓周上，平時要注重數(shù)學方法在物理中的應用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．