Question

4．離子推進器是太空飛行器常用的動力系統(tǒng)．某種推進器設(shè)計的簡化原理如圖1所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個工作區(qū)．Ⅰ為電離區(qū)，將氙氣電離獲得1價正離子；Ⅱ為加速區(qū)，長度為L，兩端加有電壓，形成軸向的勻強電場．Ⅰ區(qū)產(chǎn)生的正離子以接近0的初速度進入Ⅱ區(qū)，被加速后以速度v從右側(cè)噴出．Ⅰ區(qū)內(nèi)有軸向的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，在離軸線$\frac{R}{2}$處的C點持續(xù)射出一定速率范圍的電子．假設(shè)射出的電子僅在垂直于軸線的截面上運動，截面如圖2所示（從左向右看）．電子的初速度方向與中心O點和C點的連線成α角（0＜α≤90°）．推進器工作時，向Ⅰ區(qū)注入稀薄的氙氣．電子使氙氣電離的最小速率為v₀，電子在Ⅰ區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達的區(qū)域越大，電離效果越好．已知離子質(zhì)量為M；電子質(zhì)量為m，電量為e．（電子碰到器壁即被吸收，不考慮電子間的碰撞）

（1）求Ⅱ區(qū)的加速電壓及離子的加速度大��；
（2）α為90°時，要取得好的電離效果，求射出的電子速率v的范圍；
（3）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_max與α角的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅱ中運動的過程中，只受電場力作用，電場力做正功，利用動能定理和運動學(xué)公式可解的加速電壓和離子的加速度大�。�
（2）因電子在I區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達的區(qū)域越大，電離效果越好，所以可知電子應(yīng)為逆時針轉(zhuǎn)動，通過幾何關(guān)系分析出離子運功的最大軌道半徑，洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律可計算出離子的最大速度．
（3）畫出軌跡圖，通過幾何關(guān)系解出軌道的最大半徑，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力列式，即可得出射出的電子最大速率v_M與α的關(guān)系

解答 解：（1）由動能定理：$\frac{1}{2}M{v}^{2}=eU$
得：$U=\frac{M{v}^{2}}{2e}$
a=$\frac{eE}{M}=\frac{eU}{ML}=\frac{{v}^{2}}{2L}$
（2）設(shè)電子運動的最大半徑為r

     2r=$\frac{3}{2}$R．
    eBv=m$\frac{v2}{r}$
所以有v₀≤v＜$\frac{3eBR}{4m}$
要使上式有解，磁感應(yīng)強度B＞$\frac{4mv0}{3eR}$
（3）如右圖所示，OA=R-r，OC=$\frac{R}{2}$，AC=r

根據(jù)幾何關(guān)系$（\frac{R}{2}）^{2}$+r²-2$•\frac{R}{2}•rcos（90°-α）$=（R-r）²；
得r=$\frac{3R}{4（2-sinα）}$
由eBv=m$\frac{v2}{r}$和上式得：v_max=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$
答：
（1）Ⅱ區(qū)的加速電壓為$\frac{M{v}^{2}}{2e}$及離子的加速度為$\frac{{v}^{2}}{2L}$
（2）α為90°時，要取得好的電離效果，射出的電子速率v的范圍v₀≤v＜$\frac{3eBR}{4m}$
（3）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_max與α角的關(guān)系為v_max=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$

點評 該題的文字敘述較長，要求要快速的從中找出物理信息，創(chuàng)設(shè)物理情境；平時要注意讀圖能力的培養(yǎng)，以及幾何知識在物理學(xué)中的應(yīng)用，解答此類問題要有畫草圖的習(xí)慣，以便有助于對問題的分析和理解；再者就是要熟練的掌握帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期和半徑公式的應(yīng)用