Question

（2009?江蘇）1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．
（1）求粒子第2次和第1次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t；
（3）實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率都有最大值的限制．若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率的最大值分別為B_m、f_m，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能E_km．

Answer 1

分析：（1）狹縫中加速時(shí)根據(jù)動(dòng)能定理，可求出加速后的速度，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力，推出半徑表達(dá)式；
（2）假設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)n圈后到達(dá)出口，則加速了2n次，整體運(yùn)用動(dòng)能定理，再與洛倫茲力提供向心力，粒子運(yùn)動(dòng)的固有周期公式聯(lián)立求解；
（3）B_m對(duì)應(yīng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)可提供的最大頻率，f_m對(duì)應(yīng)加速電場(chǎng)可提供的最大頻率，選兩者較小者，作為其共同頻率，然后求此頻率下的最大動(dòng)能．

解答：解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁
qU=

1

2

mv₁²
qv₁B=m

v 2 1

r1

解得  r1=

1

B

2mU q

同理，粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑  r2=

1

B

4mU q

則 r2：r1=

2

：1．
（2）設(shè)粒子到出口處被加速了n圈

2nqU= 1 2 mv2 qvB=m v2 R T= 2πm qB t=nT

解得  t=

πBR2

2U

．
（3）加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即f=

qB

2πm

當(dāng)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為B_m時(shí)，加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)為fBm=

qBm

2πm

粒子的動(dòng)能EK=

1

2

mv2
當(dāng)f_Bm≤f_m時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由B_m決定qvmBm=m

v 2 m

R

解得Ekm=

q2 B 2 m R2

2m

當(dāng)f_Bm≥f_m時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由f_m決定v_m=2πf_mR解得 EKm=2π2m

f

2 m

R2
答：（1）r₂：r₁=

2

：1 （2）t=

πBR2

2U

 （3）當(dāng)f_Bm≤f_m時(shí)，E_Km=

q2 B 2 m R2

2m

；當(dāng)f_Bm≥f_m時(shí)，E_Km=2π2m

f

2 m

R2．

點(diǎn)評(píng)：此題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)與動(dòng)能定理的靈活應(yīng)用，本題每一問都比較新穎，需要學(xué)生反復(fù)琢磨解答過(guò)程．