Question

19．足夠長(zhǎng)的光滑水平平臺(tái)高為h₁=30m上，質(zhì)量為m=1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖�。�打開鎖扣K，物塊向右滑行，并恰好能從光滑圓弧形軌道BC的B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧形軌道．B點(diǎn)的高度h₂=15m，圓弧軌道的圓心O與平臺(tái)等高，軌道最低點(diǎn)C的切線水平，并與地面上長(zhǎng)為L(zhǎng)=70m的水平粗糙軌道CD平滑連接；小物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)與右邊墻壁發(fā)生碰撞，g=10m/s²．求：
（1）小物塊由A到B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）小物塊在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)所具有的動(dòng)能為多少？
（3）小物塊與墻壁只發(fā)生一次碰撞，最后停在軌道CD上的某點(diǎn)P．設(shè)小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求μ的取值范圍？（注意：碰撞前后沒有能量損失，速度等大反向）

Answer 1

分析 （1）物塊離開平臺(tái)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出圓弧的圓心角，通過(guò)平行四邊形定則，結(jié)合豎直分速度求出水平分速度，即平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，根據(jù)能量守恒求出彈性勢(shì)能的大�。�
（3）對(duì)全過(guò)程分析，運(yùn)用能量守恒求出動(dòng)摩擦因數(shù)的大�。�

解答 解：（1）由于h₁=30 m，h₂=15 m，設(shè)從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為t，則有：h₁-h₂=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)解得：t=$\sqrt{3}$ s
（2）由Rcos∠BOC=h₁-h₂，R=h₁，所以∠BOC=60°．設(shè)小物塊平拋的水平速度是v₁，則有：$\frac{gt}{v1}$=tan60°
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=10 m/s
則E_p=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=50 J
（3）設(shè)小物塊在水平軌道CD上通過(guò)的總路程為s_總．
根據(jù)題意，該路程的最大值是s_max=3L，
路程的最小值是s_min=L
路程最大時(shí)，動(dòng)摩擦因數(shù)最小，路程最小時(shí)，動(dòng)摩擦因數(shù)最大，即由能量守恒知：
mgh₁+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=μ_minmgs_max
mgh₁+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=μ_maxmgs_min
解得：μ_max=$\frac{1}{2}$，
μ_min=$\frac{1}{6}$
即$\frac{1}{6}$≤μ≤$\frac{1}{2}$
答：（1）小物塊由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為$\sqrt{3}$s．
（2）小物塊原來(lái)壓縮彈簧時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep的大小為50J．
（3）動(dòng)摩擦因數(shù)范圍為$\frac{1}{6}$≤μ≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合進(jìn)入圓弧軌道的速度方向，通過(guò)平行四邊形定則求出初速度是解決本題的關(guān)鍵．