Question

19．如圖所示，在水平地面上有一條足夠長直軌道，只有AB段粗糙，AB段長為3L，其余部分均光滑．以B點(diǎn)為分界線，B點(diǎn)左側(cè)存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場，每個(gè)小物體所受的電場力為本身重力的0.25倍．有若干個(gè)相同的小方塊（每個(gè)小方塊視為質(zhì)點(diǎn)）沿水平靠在一起，總長為L，總質(zhì)量為M，但不粘接．每個(gè)小方塊質(zhì)量都相等，都帶有等量的正電荷（各小方塊在運(yùn)動(dòng)過程中電荷量保持不變），開始時(shí)用外力控制，所有物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，最前端（最右端）距A點(diǎn)為2L．在某一時(shí)刻將它們又靜止釋放，當(dāng)最前端運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)右側(cè)距A為$\frac{L}{2}$時(shí)小方塊運(yùn)動(dòng)的速度達(dá)到最大．（重力加速度為g）
（1）小方塊與粗糙地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為多少？
（2）已知所有物體最終均靜止于AB之間，求物體靜止時(shí)的位置？
（3）要使所有物體都能通過B點(diǎn)，由靜止釋放時(shí)物塊的前端（最右端）距A點(diǎn)的距離至少為多少？
（4）如果所有的方物塊都已經(jīng)超過B點(diǎn)，這些方物塊從B點(diǎn)射出時(shí)的動(dòng)能會(huì)各不相同，試求所有物塊動(dòng)能之和的最小值為多少？

Answer 1

分析 受力平衡時(shí)速度最大，動(dòng)能定理求位移，速度；功能關(guān)系求解即可．

解答 答：（1）設(shè)方物塊的總個(gè)數(shù)為N，速度最大時(shí)，合外力為零，有：NqE=$\frac{1}{2}$μN(yùn)mg
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.5
（2）所有物塊在進(jìn)入AB區(qū)域的過程中，物塊間不會(huì)分離，摩擦力先由零逐漸增大，并且隨位移均勻增大，完全進(jìn)入后，摩擦力為恒力．設(shè)物塊最終靜止時(shí)最右端離A點(diǎn)距離為x₁，由動(dòng)能定理得：
NqE（2L+x₁）=$\frac{1}{2}$μN(yùn)mgL+μN(yùn)mg（x₁-L）
解得：x₁=3L，即物塊最右端剛好停在B點(diǎn)
（3）只要物塊的后端（最左端）能通過B點(diǎn)，則所有方塊都能通過B點(diǎn)，設(shè)物塊的前端（最右端）距A點(diǎn)的距離為x₂處由靜止釋放，物塊剛好全部進(jìn)入時(shí)的速度為v，有：
NqE（L+x₂）-$\frac{1}{2}$μN(yùn)mgL=$\frac{1}{2}$Nmv²
從剛好全部進(jìn)入AB區(qū)域，到全部離開AB區(qū)域的過程中，最后一個(gè)方物塊的加速度保持不變，有：
（qE-μmg）×3L=0-$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立求解得：x₂=3L   
（4）因?yàn)锽點(diǎn)右側(cè)光滑，每個(gè)物塊離開B點(diǎn)后，各物塊的速度不同，物塊之間將有間距發(fā)生．假設(shè)將AB區(qū)域向右無限延長，從x₂=3L處由靜止釋放，物塊的最左端剛好到達(dá)B處靜止時(shí)，所有物塊均同時(shí)靜止．每個(gè)物塊在B點(diǎn)的初動(dòng)能等于各自的合外力做的功，合外力為F_合=μmg-Eq，方向均向左，向右的平均位移為L由功能關(guān)系得：
E_K總=$\frac{N}{2}$（μmg-qE）×L=$\frac{M}{2m}$（μmg-qE）×L=$\frac{1}{8}$MgL
答：
（1）小方塊與粗糙地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.5
（2）已知所有物體最終均靜止與AB之間，物體靜止時(shí)的位置為B點(diǎn)
（3）要使所有物體都能通過B點(diǎn)，由靜止釋放時(shí)物塊的前端（最右端）距A點(diǎn)的距離至少為3L
（4）如果所有的方物塊都已經(jīng)超過B點(diǎn)，這些方物塊從B點(diǎn)射出時(shí)的動(dòng)能會(huì)各不相同，試求所有物塊動(dòng)能之和的最小值為$\frac{1}{8}$MgL

點(diǎn)評(píng) 考查了動(dòng)能定理的靈活運(yùn)用，求速度、位移；合理運(yùn)用功能關(guān)系求能量，難度一般．