Question

如圖所示，正方形導(dǎo)線框abcd的質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為l，導(dǎo)線框的總電阻為R．導(dǎo)線框從垂直紙面向里的水平有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的上方某處由靜止自由下落，下落過(guò)程中，導(dǎo)線框始終在與磁場(chǎng)垂直的豎直平面內(nèi)，cd邊保持水平．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)上、下兩個(gè)界面水平距離為l．已知cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框恰好做勻速運(yùn)動(dòng)．重力加速度為g．
（1）求cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)導(dǎo)線框的速度大小．
（2）請(qǐng)證明：導(dǎo)線框的cd邊在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的任意瞬間，導(dǎo)線框克服安培力做功的功率等于導(dǎo)線框消耗的電功率．
（3）求從線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到ab邊剛離開磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框克服安培力所做的功．

Answer 1

分析：（1）cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則重力等于安培力，法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得到安培力與速度的關(guān)系，根據(jù)平衡條件求出線框的速度．
（2）導(dǎo)線框cd邊在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服安培力做功的功率為：P_安=F_安v，導(dǎo)線框消耗的電功率為：P_電=I²R，將感應(yīng)電流I與速度v的關(guān)系代入，即可證明．
（3）導(dǎo)線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，cd邊即離開磁場(chǎng)．因此導(dǎo)線框繼續(xù)作勻速運(yùn)動(dòng)．導(dǎo)線框穿過(guò)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能不變．根據(jù)動(dòng)能定理列式求解線框克服安培力所做的功．

解答：解：（1）設(shè)導(dǎo)線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，則在cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Blv，
根據(jù)閉合電路歐姆定律，導(dǎo)線框的感應(yīng)電流為I=

Blv

R

導(dǎo)線框受到的安培力為F_安=BIl=

B2l2v

R

，
因cd剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)導(dǎo)線框做勻速運(yùn)動(dòng)，所以有F_安=mg，
以上各式聯(lián)立，得：v=

mgR

B2l2

．
（2）導(dǎo)線框cd邊在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服安培力做功的功率為：P_安=F_安v
代入（1）中的結(jié)果，整理得：P_安=

B2l2v2

R

導(dǎo)線框消耗的電功率為：
P_電=I²R=

B2l2v2

R2

R=

B2l2v2

R

 
因此有：P_安=P_電
（3）導(dǎo)線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，cd邊即離開磁場(chǎng)．因此導(dǎo)線框繼續(xù)作勻速運(yùn)動(dòng)．導(dǎo)線框穿過(guò)磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能不變．設(shè)導(dǎo)線框克服安培力做功為W_安，根據(jù)動(dòng)能定理有：
  mg2l-W_安=0
解得：W_安=2mgl．
答：
（1）cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)導(dǎo)線框的速度大小為

mgR

B2l2

．
（2）證明見上．
（3）從線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到ab邊剛離開磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框克服安培力所做的功為2mgl．

點(diǎn)評(píng)：本題考查電磁感應(yīng)與力學(xué)和功能的綜合，知道線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，安培力與重力平衡，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、安培力公式、閉合電路歐姆定律進(jìn)行求解．