Question

如圖所示，正方形導線框abcd的質量為m、邊長為l，導線框的總電阻為R．導線框從垂直紙面向里的水平有界勻強磁場的上方某處由靜止自由下落，下落過程中，導線框始終在與磁場垂直的豎直平面內，cd邊保持水平．磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，磁場上、下兩個界面水平距離為l．已知cd邊剛進入磁場時線框恰好做勻速運動．重力加速度為g．
（1）求cd邊剛進入磁場時導線框的速度大小．
（2）請證明：導線框的cd邊在磁場中運動的任意瞬間，導線框克服安培力做功的功率等于導線框消耗的電功率．
（3）求從線框cd邊剛進入磁場到ab邊剛離開磁場的過程中，線框克服安培力所做的功．

Answer 1

分析：（1）cd邊剛進入磁場時做勻速直線運動，則重力等于安培力，法拉第電磁感應定律、歐姆定律得到安培力與速度的關系，根據(jù)平衡條件求出線框的速度．
（2）導線框cd邊在磁場中運動時，克服安培力做功的功率為：P_安=F_安v，導線框消耗的電功率為：P_電=I²R，將感應電流I與速度v的關系代入，即可證明．
（3）導線框ab邊剛進入磁場時，cd邊即離開磁場．因此導線框繼續(xù)作勻速運動．導線框穿過磁場的整個過程中動能不變．根據(jù)動能定理列式求解線框克服安培力所做的功．

解答：解：（1）設導線框cd邊剛進入磁場時的速度為v，則在cd邊進入磁場過程時產生的感應電動勢為E=Blv，
根據(jù)閉合電路歐姆定律，導線框的感應電流為I=

Blv

R

導線框受到的安培力為F_安=BIl=

B2l2v

R

，
因cd剛進入磁場時導線框做勻速運動，所以有F_安=mg，
以上各式聯(lián)立，得：v=

mgR

B2l2

．
（2）導線框cd邊在磁場中運動時，克服安培力做功的功率為：P_安=F_安v
代入（1）中的結果，整理得：P_安=

B2l2v2

R

導線框消耗的電功率為：
P_電=I²R=

B2l2v2

R2

R=

B2l2v2

R

 
因此有：P_安=P_電
（3）導線框ab邊剛進入磁場時，cd邊即離開磁場．因此導線框繼續(xù)作勻速運動．導線框穿過磁場的整個過程中動能不變．設導線框克服安培力做功為W_安，根據(jù)動能定理有：
  mg2l-W_安=0
解得：W_安=2mgl．
答：
（1）cd邊剛進入磁場時導線框的速度大小為

mgR

B2l2

．
（2）證明見上．
（3）從線框cd邊剛進入磁場到ab邊剛離開磁場的過程中，線框克服安培力所做的功為2mgl．

點評：本題考查電磁感應與力學和功能的綜合，知道線框勻速運動時，安培力與重力平衡，結合切割產生的感應電動勢公式、安培力公式、閉合電路歐姆定律進行求解．