Question

如圖所示，光滑水平面上，有一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板，它的左端有一質(zhì)量為m的小物塊（已知m＜M），物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．開始時(shí)木板與小物塊均靠在左邊固定的豎直擋板處，以共同速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，右邊也有一同樣固定的豎直擋板，且左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)．假設(shè)長(zhǎng)木板與兩擋板的碰撞時(shí)間極短，碰撞前后速度反向，速率不變．
（1）試求物塊不從長(zhǎng)木板上滑下板長(zhǎng)L應(yīng)滿足的條件．（用上述已知字母表達(dá)）
（2）若第一問條件滿足，且M=2kg，m=1kg，v₀=3m/s，μ=0.5．試計(jì)算整個(gè)過程中小物塊在長(zhǎng)木板上滑行的總路程以及長(zhǎng)木板在第三次與擋板碰撞前系統(tǒng)損失的機(jī)械能．

Answer 1

分析：（1）木板第一次與右側(cè)固定板相撞后，木板反彈，塊與板相對(duì)運(yùn)動(dòng)，最后一起向左運(yùn)動(dòng)，然后板與左側(cè)固定板相撞塊與板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與第一次相反，所以物塊不從木板上滑下木板長(zhǎng)度不小于第一次相對(duì)位移即可．根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒列式即可求解；
（2）木板不斷與豎直板碰撞，總動(dòng)量不斷減少，最后變?yōu)榱悖畬?duì)前面兩次碰撞運(yùn)用動(dòng)量守恒求出末速度，系統(tǒng)損失的機(jī)械能等于動(dòng)能的減少量．

解答：解：（1）木板第一次與右側(cè)固定板相撞后，木板反彈，塊與板相對(duì)運(yùn)動(dòng)，最后一起向左運(yùn)動(dòng)，然后板與左側(cè)固定板相撞塊與板的相對(duì)運(yùn)動(dòng)與第一次相反，所以物塊不從木板上滑下木板長(zhǎng)度不小于第一次相對(duì)位移即可．
根據(jù)動(dòng)量守恒：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁
根據(jù)能量守恒：μmg△S=

1

2

(m+M)v02-

1

2

(m+M)v12
解得：△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

 所以：L≥△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

（2）木板不斷與豎直板碰撞，總動(dòng)量不斷減少，最后變?yōu)榱悖?BR>根據(jù)能量守恒：μmgS=

1

2

(m+M)v02
解得：S=

(m+M)v02

2μmg

=2.7m
第一次碰撞：根據(jù)動(dòng)量守恒：Mv₀-mv₀=（m+M）v₁得：v₁=1m/s
第二次碰撞：根據(jù)動(dòng)量守恒：Mv₁-mv₁=（m+M）v₂得：v2=

1

3

m/s
所以與板碰撞損失的機(jī)械能△EK=

1

2

(m+M)v02-

1

2

(m+M)v22=

40

3

J
答：（1）物塊不從長(zhǎng)木板上滑下板長(zhǎng)L應(yīng)滿足的條件為：L≥△S=

(m+M)(v02-v12)

2μmg

；（2）整個(gè)過程中小物塊在長(zhǎng)木板上滑行的總路程以及長(zhǎng)木板在第三次與擋板碰撞前系統(tǒng)損失的機(jī)械能為

40

3

J．

點(diǎn)評(píng)：在應(yīng)用動(dòng)量守恒和功能關(guān)系解題時(shí)，注意將復(fù)雜過程分解多個(gè)簡(jiǎn)單過程，注意狀態(tài)的選取，化繁為簡(jiǎn)，然后根據(jù)動(dòng)量守恒和功能關(guān)系列方程求解．