Question

8．如圖所示，在XOY直角坐標系中，OQ和OP分別與X軸正負方向成45°，在POQ區(qū)域中存在足夠?qū)挼膭驈婋妶�，場強大小為E，其余區(qū)域存在垂直紙面向里的勻強磁場B，一帶電量為+q的質(zhì)量為m粒子在Y軸上A點（0，-L）以平行于X軸速度v₀進入第四象項，在QO邊界垂直進入電場，后又從PO邊界離開電場，不計粒子的重力．其中B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．求：
（1）粒子在磁場B中做圓周運動的半徑？
（2）粒子從PO進入磁場的位置坐標？
（3）粒子從A運動到OP邊界所需的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作出軌跡圖，則由幾何關(guān)系可求得半徑；
（2）由帶電子在磁場中的運動規(guī)律，利用運動的合成與分解可求得經(jīng)歷的位位，則可求得位置坐標；
（3）在磁場中根據(jù)幾何關(guān)系求得圓心角，則由t=$\frac{θ}{360}$T可求得在磁場中的時間；再利用電場中的類平拋運動，可求得在電場中的時間，則可求得總時間．

解答 解：（1）由題意可知粒子的運動軌跡如圖所示；則根據(jù)洛侖茲力和速度方向相互垂直可知，粒子圓心一定在O點；
由幾何關(guān)系可知，r=L
（2）設(shè)粒子在電場中運動的加速度大小為a，由牛頓第二定律有：
a=$\frac{Eq}{m}$
由平拋運動規(guī)律可知：
OQ方向L=$\frac{1}{2}$at²；
OP方向上；S=v₀t
聯(lián)立解得，S=v₀$\sqrt{\frac{2Lm}{qE}}$；
則坐標值為x=-Scos45°=-v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$，y=Ssin45°=v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$；
故粒子從PO進入磁場的坐標為（-v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$，v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$）
（3）粒子在磁場中的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2πl(wèi)}{{v}_{0}}$
粒子在磁場中的時間t₁=$\frac{135°}{360°}T$=$\frac{3πl(wèi)}{4{v}_{0}}$；
粒子在電場中運動時間t₂=$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
故總時間t=t₁+t₂=$\frac{3πl(wèi)}{4{v}_{0}}$+$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
答：（1）粒子在磁場B中做圓周運動的半徑為L；
（2）粒子從PO進入磁場的位置坐標為（-v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$，v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$）
（3）粒子從A運動到OP邊界所需的時間為$\frac{3πl(wèi)}{4{v}_{0}}$+$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動，要注意明確電場中的研究方法為運動的合成與分解，而磁場中主要是利用洛侖茲力確定圓心和半徑，明確圓的性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解．