Question

2010年10月11日，我國(guó)成功發(fā)射了“嫦娥二號(hào)”探月衛(wèi)星，衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈，飛行時(shí)間為t，已知月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀，
（1）試推導(dǎo)衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)離月球表面高度h的表達(dá)式；
（2）地球和月球的半徑之比為

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，求地球和月球的密度之比；
（3）繞月衛(wèi)星的最大速度與繞地衛(wèi)星的最大速度之比．

Answer 1

分析：“嫦娥二號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式．
忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解．
根據(jù)密度的公式和已知量表示出密度進(jìn)行之比．

解答：解：（1）“嫦娥一號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r   ①
在月球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：

GMm

R 2 0

═mg₀  ②
衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈，飛行時(shí)間為t，所以T=

t

n

  ③
r=R₀+h   ④
由①②③④解得：h=

3	R 2 0 g0t2 4n2π2

-R0
（2）在星球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg⑤
ρ=

M′

V

  ⑥
已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式：

GMm

r2

=m

v2

r

根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：

GMm

r2

=mg
v=

gr

已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，
所以繞月衛(wèi)星的最大速度與繞地衛(wèi)星的最大速度之比：

1

2 6

．
答：（1）衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)離月球表面高度h的表達(dá)式為

3	R 2 0 g0t2 4n2π2

-R0
（2）地球和月球的密度之比為

3

2

．
（3）繞月衛(wèi)星的最大速度與繞地衛(wèi)星的最大速度之比為

1

2 6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．