Question

14．如圖所示，在直角坐標(biāo)系XOY的第一象限內(nèi)有垂直于坐標(biāo)平面向外的矩形有界勻強磁場，磁場的左邊界與Y軸重合，右邊界如圖中虛線所示．在坐標(biāo)系的三四象限內(nèi)有平行于坐標(biāo)平面、與X軸負方向成60°角斜向下的勻強電場，場強大小為E．一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點O沿y軸正方向出發(fā)，經(jīng)磁場作用后偏轉(zhuǎn)，粒子飛出磁場區(qū)域經(jīng)過x軸上的b點，此時速度方向與x軸正方向的夾角為30°，粒子隨后進入勻強電場中，恰好通過b點正下方的c點．已知O、b兩點間距為L，粒子的重力不計，試求：
（1）矩形勻強磁場的寬度d．
（2）帶電粒子從O點運動到c點的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，作出其運動軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，即可求得矩形勻強磁場的寬度d．
（2）帶電粒子的運動由勻速圓周運動、勻速直線運動和類平拋運動三部分組成．在磁場中根據(jù)軌跡對應(yīng)的圓心角求時間．粒子在電場中做類似平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式列式求解時間

解答 解：（1）做出粒子運動軌跡，如圖中實線所示．設(shè)帶電粒子在勻強磁場中的運動半徑為R，
由圖可知 R+$\frac{R}{sin30°}$=L   
解得：R=$\frac{1}{3}L$    ①
由圖形可知磁場寬度為  d=R+Rsin30°=$\frac{1}{2}$L   ②
（2）帶電粒子的運動由勻速圓周運動、勻速直線運動和類平拋運動三部分組成，運動時間分別是t₁、t₂、t₃．設(shè)粒子做圓周運動的周期為T：
  t₁=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}•\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{9{v}_{0}}$    ③
  t₂=$\frac{R}{{v}_{0}tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}L}{3{v}_{0}}$     ④
粒子進入電場做類平拋運動，設(shè)從b到c垂直電場方向的位移為s₁，沿電場方向的位移為s₂，粒子運動的加速度為a，則有：
  s₁=v₀t₃   ⑤
  s₂=$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$    ⑥
 a=$\frac{qE}{m}$    ⑦
又 $\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$=tan60°   ⑧
求得：t₃=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$    ⑨
所以得出：t=$\frac{（2π+3\sqrt{3}）L}{9{v}_{0}}$+$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$   ⑨
答：
（1）矩形勻強磁場的寬度d為$\frac{1}{2}$L．
（2）帶電粒子從O點運動到c點的時間為$\frac{（2π+3\sqrt{3}）L}{9{v}_{0}}$+$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$．

點評 本題中粒子先在磁場中做勻速圓周運動，后在電場中做類似平拋運動，要注意兩個軌跡的連接點，然后根據(jù)運動學(xué)公式和牛頓第二定律以及幾何關(guān)系列式求解，其中畫出軌跡是關(guān)鍵．