Question

18．某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為S．比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點．整個過程中球一直保持在球拍中心不動．比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示．設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g．
（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數k；
（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；
（3）整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）在勻速運動階段，受力平衡，根據平衡條件列式即可求解；
（2）加速階段，設球拍對球的支持力為N′，根據牛頓第二定律即可求解；
（3）根據牛頓第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，當球運動的位移小于等于r時，球不從球拍上掉落，根據運動學基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）在勻速運動階段，有mgtanθ₀=kv₀
得k=$\frac{mgta{nθ}_{0}}{{v}_{0}}$
（2）加速階段，設球拍對球的支持力為N′，有
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=$\frac{a}{g}$+$\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀
（3）以速度v₀勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，有F=$\frac{mg}{co{sθ}_{0}}$
球拍傾角為θ₀+β時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有
Fsinβ=ma′
設勻速跑階段所用時間為t，有t=$\frac{s}{{v}_{0}}$-$\frac{{v}_{0}}{2a}$
球不從球拍上掉落的條件$\frac{1}{2}$a′t²≤r
得sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）^{2}}$
答：（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數k為$\frac{mgta{nθ}_{0}}{{v}_{0}}$；
（2）在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式為tanθ=$\frac{a}{g}$+$\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀；
（3）β應滿足的條件為sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）^{2}}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律及運動學基本公式的應用，要求同學們能正確受力分析，知道一起勻加速運動時，球和球拍的加速度相同．難度適中．