Question

11．如圖所示，兩個(gè)正方形細(xì)導(dǎo)線框1，2，質(zhì)量都是m，邊長都是L，每個(gè)框都在其兩對角上接有短電阻絲（圖中用粗黑線表示），阻值r_l=r₁′=r₂=r₂′=r，其余部分電阻不計(jì)，兩框疊放在水平面上，對應(yīng)邊相互平行，交疊點(diǎn)A，C位于所在邊的中點(diǎn)，兩框在交疊點(diǎn)彼此絕緣，在兩框的交疊區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場（交疊區(qū)的導(dǎo)線框恰好在磁場邊緣以內(nèi)），磁感強(qiáng)度為B．設(shè)磁場在很短時(shí)間△t內(nèi)均勻減小為零．不計(jì)所有摩擦．
（1）求流過電阻r₁，r₂的電流I₁，I₂的大小與方向．
（2）求磁場剛減小為零時(shí)，框1和2的速度v₁和v₂（并指明方向）．
（3）若兩框在交疊點(diǎn)A，C不是互相絕緣，而是電接觸良好，以上解答是否改變？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)兩個(gè)線框彼此獨(dú)立時(shí)，對每個(gè)線框運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律求得I₁，I₂的大小，由楞次定律判斷感應(yīng)電流的方向．
（2）當(dāng)磁場剛減小到零時(shí)，由于B均勻減小，B的平均值為$\frac{B}{2}$，分析線框1在磁場中受力的有效長度，求得安培力的平均值，用同樣的方法求得線框2的安培力平均值大小和方向，運(yùn)用動(dòng)量定理求解它們的速度．
（3）若兩框在交疊點(diǎn)A，C不是互相絕緣，畫出等效電路圖，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律分析即可．

解答 解：（1）當(dāng)兩線框彼此獨(dú)立時(shí)，對兩個(gè)線框有：
   E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•\frac{1}{4}{L}^{2}}{△t}$=$\frac{B{L}^{2}}{4△t}$
通過r₁，r₂的電流為：I₁=I₂=$\frac{E}{2r}$=$\frac{B{L}^{2}}{8r△t}$，方向均為逆時(shí)針方向．
（2）在△t時(shí)間內(nèi)，線框1中電流恒定，而磁場B均勻減小到零，故B的平均值為$\overline{B}$=$\frac{1}{2}$B．
   線框1在磁場中受力的有效長度為 L′=$\overline{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
   受到的平均安培力為 F₁=$\overline{B}$I₁L′=$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{L}^{3}}{32r△t}$，方向向右．  
   線框2所愛的合力為 F₂=F₁，方向向左．
再由動(dòng)量定理：F•△t=mv，得，線框1獲得的速度為 v₁=$\frac{{F}_{1}△t}{m}$=$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{L}^{3}}{32rm}$，方向向右，線框獲得的速度 v₂=v₁，方向向左．
（3）若兩框在交疊點(diǎn)A，C不是互相絕緣，而是接觸良好，則可等效為如圖2所示電路．通過r₂及r₁的電流大小為I=$\frac{E}{2r}$，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，與（1）問中的答案相比較，并考慮磁場只分布在中間回路Ar₂Cr₁區(qū)域內(nèi)，可知v₁、v₂不變．
  辨析：上面第（1）（2）的解答是正確的，但第（3）問出了問題．下面用兩種方法進(jìn)行解析．
  法一：當(dāng)兩個(gè)線框接觸良好時(shí)，相當(dāng)于兩個(gè)閉合回路，即內(nèi)回路Ar₁′Cr₂和外回路Ar₁Cr₂′．兩個(gè)線框中都有相同的磁通變化率，因此，兩線框中都要產(chǎn)生相同的感應(yīng)電動(dòng)勢，而并不是上面解答所說的那樣，只有內(nèi)回路中才有感應(yīng)電動(dòng)勢產(chǎn)生．這時(shí)等效電路如圖3所示，而且這一電路還可進(jìn)一步簡化為如圖4所示的電路，因此，干路中總電流為 I=$\frac{0.5E}{0．r}$=$\frac{E}{r}$
流過r₁、r₂、r₁′、r₂′的電流都為I₁=I₂=$\frac{E}{2r}$，這與彼此絕緣時(shí)的情況完全一樣．因?yàn)殡娏魍耆�相同，其它情況又未變，故各線圈受的安培力也不變，獲得的速度與前面一樣．
   法二：將原線框分開來處理．如圖5所示，對左邊的小線框Ar₁′Cr₂和大線框Ar₁Cr₂來講，兩者產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢相同，而Ar₂C是公共部分，故外回路Ar₁C和Ar₁′C上產(chǎn)生的電動(dòng)相同，都為$\frac{E}{2}$．同理，右圖中的Ar₂C和Ar₂′C上產(chǎn)生的電動(dòng)勢也都為$\frac{E}{2}$，因而等效電路圖與圖3相同，以后的處理與法一相同．
答：
（1）流過電阻r₁，r₂的電流I₁，I₂的大小均為$\frac{B{L}^{2}}{8r△t}$，方向均為逆時(shí)針方向．
（2）磁場剛減小為零時(shí)，框1和2的速度v₁是$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{L}^{3}}{32rm}$，方向向右，線框獲得的速度 v₂=v₁，方向向左．
（3）若兩框在交疊點(diǎn)A，C不是互相絕緣，而是電接觸良好，以上解答不改變，理由見上．

點(diǎn)評 本題的思維陷阱是：看起來磁場只分布在里面的小閉合回路中，而實(shí)際是內(nèi)、外回路所共有，因而造成只在內(nèi)回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流的錯(cuò)誤結(jié)論．因此，我們在分析問題時(shí)一定要仔細(xì)、全面、嚴(yán)謹(jǐn)，盡量避免思維陷井．