Question

7．如圖所示，坐標系xOy平面的第一象限內(nèi)存在勻強電場，場強沿y軸正方向；第四象限內(nèi)有一個以O₁為圓心，半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直xoy平面（紙面）向里，一電量為q，質(zhì)量為m的帶負電的運動粒子，經(jīng)過y=a處的點P₁時速率為v₀，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x=2a處的P₂點，最后進入圓形磁場區(qū)，并經(jīng)過y軸上y=-4a處的P₃點，已知O₁點坐標為（3a，-a），不計粒子重力，求：
（1）電場強度E的大�。�
（2）粒子到達P₂時速度V的大小和方向；
（3）磁感應強度B的大小及粒子在磁場中運動的時間t的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式即可求解E；
（2）先求出沿y軸方向的速度，再根據(jù)矢量合成原則求解速度大小，根據(jù)幾何關系求解方向；
（3）根據(jù)題意畫出粒子在磁場中的運動軌跡，結(jié)合幾何關系和粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式和周期公式求解．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，
水平方向做勻速直線運動，則有：t=$\frac{2a}{{v}_{0}}$，
豎直方向做勻加速直線運動，則有：$a=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t}^{2}$
解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2aq}$，
（2）到達P₂點時，沿y軸方向的速度${v}_{y}=\frac{Eq}{m}t=\frac{m{{v}_{0}}^{2}q}{2aqm}•\frac{2a}{{v}_{0}}={v}_{0}$，
所以到達P₂點時的速度大小v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$，
設速度方向與x軸方向的夾角為θ，則有：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，
所以θ=45°
（3）根據(jù)（2）可知，粒子以與水平方向成45°角射入磁場，粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)幾何關系可知，
AP₃=3a，AO₁=3a，所以∠AO₁P₃=45°，運動軌跡如圖所示：

根據(jù)幾何關系可知，粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑R=a，運動軌跡對應的圓心角為90°，則有：
a=$\frac{mv}{Bq}$
解得：B=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{aq}$，
粒子在磁場中運動的時間t=$\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{\sqrt{2}πa}{4{v}_{0}}$．
答：（1）電場強度E的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2aq}$；
（2）粒子到達P₂時速度V的大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與x軸正方向成45°角；
（3）磁感應強度B的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{aq}$，粒子在磁場中運動的時間t的大小為$\frac{\sqrt{2}πa}{4{v}_{0}}$．

點評 帶電粒子在組合場中的運動問題，首先要運用動力學方法分析清楚粒子的運動情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運動，常常運用運動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求解；對于磁場中圓周運動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．