Question

14．宇航員在地球和某星球表面做了兩個對比實驗．實驗一：在該星球和地球上以同樣的高度和初速度平拋同一物體，發(fā)現其水平射程是地球上的4倍．實驗二：飛船繞該星球表面的運行周期是它繞地球表面運行周期的2倍．則該星球與地球的質量之比和半徑之比分別是（　�。�

• A． $\frac{1}{256}$，$\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{256}$，$\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{64}$，$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{16}$，$\frac{1}{1}$

Answer 1

分析 根據平拋運動知識求出該星球與地球表面重力加速度之比．飛船繞該星球表面和地球表面運行時，根據萬有引力提供向心力，求出該星球與地球的半徑之比．由萬有引力與重力近似相等，求出該星球與地球的質量之比．

解答 解：設物體平拋運動的高度和初速度分別為h和v₀，水平射程為x，則有：
x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
則得到該星球與地球表面重力加速度之比為：g_星：g_地=${{x}_{地}}^{2}：{{x}_{星}}^{2}$=1：16
飛船繞該星球表面和地球表面運行時，由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，
得：R=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
代入得到：該星球與地球的半徑之比為：R_星：R_地=1：4
又由重力近似等于萬有引力，得：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
則得到該星球與地球的質量之比為：M_星：M_地=1：256
故選：A

點評 本題是萬有引力定律與平拋運動、圓周運動的綜合，采用比例法求解．