Question

20．質(zhì)量為m的登月器與航天飛機(jī)連接在一起，隨航天飛機(jī)繞月球做半徑為3R（R為月球半徑）的圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它們運(yùn)行到軌道的A點(diǎn)時(shí)，登月器被彈離，航天飛機(jī)速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運(yùn)動(dòng)，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點(diǎn)，在月球表面逗留一段時(shí)間后，經(jīng)快速起動(dòng)仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)A與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接．已知月球表面的重力加速度為g_月．科學(xué)研究表明，天體在橢圓軌道上運(yùn)行的周期的平方與軌道半長軸的立方成正比．試求：
（1）登月器與航天飛機(jī)一起在圓周軌道上繞月球運(yùn)行的周期是多少？
（2）若登月器被彈射后，航天飛機(jī)的橢圓軌道長軸為8R，則為保證登月器能順利返回A點(diǎn)，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力列出等式求解
（2）對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，根據(jù)周期關(guān)系列出等式求解

解答 解：（1）設(shè)登月器和航天飛機(jī)在半徑3R的軌道上運(yùn)行時(shí)的周期為T，因其繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，所以應(yīng)用牛頓第二定律有：
G$\frac{Mm}{9{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）2•3R…①
在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力，即：
G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m0g月…②
聯(lián)立①②解得：T=6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$…③
（2）設(shè)登月器在小橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₁，航天飛機(jī)在大橢圓軌道運(yùn)行的周期是T₂．對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律分別有：
$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{（2R）^{3}}$…④
$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{2}^{2}}{（4R）^{3}}$…⑤
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點(diǎn)與航天飛機(jī)實(shí)現(xiàn)對(duì)接，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間t應(yīng)滿足：
t=nT₂-T₁ （其中，n=1、2、3、…）…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥得：t=4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器與航天飛機(jī)一起在圓周軌道上繞月球運(yùn)行的周期是6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$
（2）若登月器被彈射后，航天飛機(jī)的橢圓軌道半長軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點(diǎn)，登月器可以在月球表面逗留的時(shí)間是4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）

點(diǎn)評(píng) 該題考查了萬有引力定律及圓周運(yùn)動(dòng)相關(guān)公式的直接應(yīng)用，對(duì)登月器和航天飛機(jī)依據(jù)開普勒第三定律，屬于中檔題