Question

3．如圖所示，裝置BOO′可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量為m，細(xì)線AC長(zhǎng)l，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g）
（1）當(dāng)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，求AB和AC細(xì)線上的拉力各為多大
（2）當(dāng)裝置以ω₁的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，細(xì)線AB水平且拉力等于小球重力的一半，求此時(shí)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁的大小
（3）若要使AB細(xì)線上的拉力為零，求裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）靜止時(shí)受力分析，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（3）當(dāng)細(xì)線AB張力為零時(shí)，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）受力分析如右圖，由平衡條件得：
${T_{AB}}=\frac{3}{4}mg$
${T_{AC}}=\frac{5}{4}mg$
（2）由牛頓第二定律得：
$\left\{\begin{array}{l}{T_{AC}}cosθ=mg\\{T_{AC}}sinθ-{T_{AB}}=m（lsinθ）ω_1^2\end{array}\right.$
解得：${ω_1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$
（3）由題意，當(dāng)ω最小時(shí)繩AC與豎直方向夾角θ₁=37°，受力分析如下圖

則有：$mgtan{θ_1}=m（lsin{θ_1}）ω_{min}^2$
解得：${ω_{min}}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$
當(dāng)ω最大時(shí)繩AC與豎直方向夾角θ₂=53°
$mgtan{θ_2}=m（lsin{θ_2}）ω_{max}^2$
解得：${ω_{max}}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$
所以ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$
答：（1）當(dāng)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，AB和AC細(xì)線上的拉力分別為$\frac{3}{4}mg$和$\frac{5}{4}mg$；
（2）當(dāng)裝置以ω₁的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，細(xì)線AB水平且拉力等于小球重力的一半，此時(shí)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁的大小為$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$；
（3）若要使AB細(xì)線上的拉力為零，則ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．