Question

19．我國(guó)發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時(shí)間為t，如圖所示．已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g₁，引力常量為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的第一宇宙速度v₁；
（3）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h．

Answer 1

分析 在月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，可計(jì)算出近月衛(wèi)星的速度，即月球的第一宇宙速度．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，結(jié)合周期和軌道半徑的關(guān)系，可計(jì)算出衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）月球表面處引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₁，
得：M=$\frac{{{g}_{1}R}^{2}}{G}$  
（2）第一宇宙速度為近月衛(wèi)星運(yùn)行速度，由萬(wàn)有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
所以月球第一宇宙速度為：v=$\sqrt{{g}_{1}R}$
（3）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
衛(wèi)星周期為：T=$\frac{t}{n}$
軌道半徑為：r=R+h
解得：h=$\root{3}{\frac{{{{g}_{1}R}^{2}t}^{2}}{{{4n}^{2}π}^{2}}}$-R
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{{{g}_{1}R}^{2}}{G}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{1}R}$；
（3）“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{{{{g}_{1}R}^{2}t}^{2}}{{{4n}^{2}π}^{2}}}$-R；

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握萬(wàn)有引力提供向心力和重力等于萬(wàn)有引力這兩個(gè)重要的關(guān)系，要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．