Question

如圖所示，虛線 l_ll₂、將無重力場的空間分成三個區(qū)域，I 區(qū)內(nèi)存在水平向右的勻強電場E和垂直紙面向里的勻強磁場B_l，Ⅱ區(qū)內(nèi)以水平線 CO 為分界，上方存在著豎直向上的勻強電場E₂，下方存在著豎直向下的勻強電場E₃Ⅲ區(qū)內(nèi)存在以l₂為左邊界、右邊無界的垂直紙面向里的勻強磁場B₂，在 I 區(qū)內(nèi)有一段粗糙、長為 L 的水平放置塑料直管道 AC，一可視為質(zhì)點的帶正電小球（直徑比管內(nèi)徑略�。┑馁|(zhì)量為 m、帶電量為 q，現(xiàn)將小球從管道內(nèi) A 處由靜止釋放，運動至管道內(nèi)離 A 點距離為 L₀ 的 B 點處時達(dá)到穩(wěn)定速度 v₀，后進(jìn)入Ⅱ區(qū)向下偏轉(zhuǎn)，從邊界l₂上的 D 點進(jìn)入Ⅲ區(qū)，此時速度方向與水平方向的夾角為β，最后小球恰能無碰撞的從 C處進(jìn)入管道．已知：

q m

=0.01C/kg，E₁=l00N/C，E₂=E₃=300N/C，β=60⁰，B_l=10³T，L=5m L ₀=4m小球與管道間動摩擦因數(shù)為μ=0.1，求：
（ l ）小球在管道內(nèi)運動的穩(wěn)定速度 v₀ 值；
（ 2 ）Ⅲ區(qū)內(nèi)勻強磁場 B₂的值； 
（ 3 ）從 A 處開始至從 C 處進(jìn)入管道的過程中，小球的運動時間t．

Answer 1

（1）小球在管道內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定速度時，合力為零，在水平方向上有：
         qE₁=μqv₀B₁
         解得：v0=

E1

μB1

=

100

0.1×103

=1m/s
（2）小球在從C到D的過程中，做類平拋運動，設(shè)加速度為a，在D點時豎直方向上的分速度為v_y，OD間的距離為d，在D點時，速度關(guān)系為：
         tanβ=

vy

v0

代入數(shù)據(jù)解得：
        vy=

3

m/s
在豎直方向上，由運動學(xué)公式有：
        

v

2y

=2ad
由牛頓運動定律有：
         qE₃=ma


以上兩式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得：
          d=0.5m
根據(jù)題意，為保證小球能無碰撞的從C處進(jìn)入管道，小球在Ⅲ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運動的圓弧是關(guān)于CO對稱的，圓心O'必在CO的延長線上．（如圖所示）
由幾何關(guān)系得：
          R=

d

sin30°

=

0.5

0.5

=1m
          vD=

v 20 + v 2y

=2m/s
小球在Ⅲ區(qū)內(nèi)做勻速圓周運動的向心力是洛倫茲力，有：
         qvDB2=m

v 2D

R

代入數(shù)據(jù)解得：
         B₂=200T
（3）小球從A點至B點的過程做變加速直線運動，設(shè)小球從A運動至B點所需要的時間為t₁，由牛頓第二定律得：
        qE1-μqvB1=m

△v

△t

由動量定理有：
∑（qE₁△t）-∑（μqvB₁△t）=∑（m△v）
        即為：qE₁t₁-μqB₁L₀=mv₀
帶入數(shù)據(jù)解得：t₁=5s
小球從B勻速運動到C所需的時間為：
         t2=

L-L0

v0

=

5-4

1

=1s
小球在Ⅱ區(qū)的運動總時間為：
         t3=

2vy

a

=1.15s
小球在Ⅲ區(qū)內(nèi)運動時間為：
        t4=

5

6

T=

5πm

3qB2

=2.62s
則小球從A處開始至從C處進(jìn)入管道的過程中，運動時間t為：
        t=t₁+t₂+t₃+t₄=9.77s
答：（1）小球在管道內(nèi)運動的穩(wěn)定速度為1m/s．
    （2）Ⅲ區(qū)內(nèi)勻強磁場 B₂的值為200T． 
    （3）從 A 處開始至從 C 處進(jìn)入管道的過程中，小球的運動時間為9.77s．