Question

8．如圖所示，一個帶有$\frac{1}{4}$圓弧的上表面粗糙滑板A，總質(zhì)量為3kg，其圓弧與水平部分相切與P點(diǎn)，水平部分的總長為L=3.75m，開始時A靜止于光滑的水平面上，有一質(zhì)量為2kg的小滑塊B從滑板的最右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，B與A之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.15．求：

（1）小木塊B滑到P點(diǎn)后再沿著圓弧部分向上滑行一段距離后返回（未滑出水平部分），最終停在滑板的水平部分上．求A、B相對靜止時的速度的大�。�
（2）若B最終停在了A的水平部分的R點(diǎn)，L_PR=1m，求B在圓弧上運(yùn)動過程中，因摩擦而產(chǎn)生的熱量．
（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外，其他條件不變，討論小木塊B在整個運(yùn)動過程中，是否有可能相對于地面向右運(yùn)動？如不可能，說明理由．如有可能，求出B既能向右運(yùn)動，又不滑出滑板A的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動量守恒定律求出A、B相對靜止時的速度大�。�
（2）根據(jù)能量守恒定律求出在圓弧上運(yùn)動過程中，因摩擦產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)系統(tǒng)的動量守恒和能量結(jié)合分析B既能向右滑動、又不滑離木板A的v₀取值范圍．

解答 解：（1）最終小木塊與小車相對靜止時，具有相同的速度，該系統(tǒng)動量守恒，規(guī)定小物塊初速度的方向?yàn)檎�方向�?br />有：mv₀=（M+m）v，
解得：v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}=\frac{2×5}{2+3}m/s=2m/s$，方向向左．
（2）設(shè)B在A的圓弧部分產(chǎn)生的熱量為Q₁，在A的水平部分產(chǎn)生的熱量為Q₂．則有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}+{Q}_{1}+{Q}_{2}$，
又Q₂=μm_Bg（L_QP+L_PR）　
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：Q₁=0.75 J．　
（3）設(shè)小木塊B下滑到P點(diǎn)時速度為v_B，同時A的速度為v_A，由動量守恒和能量關(guān)系可以得到
mv₀=mv_B+Mv_A
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{A}}^{2}+$μmgL
由兩式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0，得：${v}_{B}=\frac{4{v}_{0}-\sqrt{36{{v}_{0}}^{2}-18gL}}{10}＜0$
化簡后為v₀²＞0.9gL
若要求B最終不滑離A，由能量關(guān)系必有：$μmg•2L≥\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
化簡得：v₀²≤gL
故B既能對地向右滑動，又不滑離A的條件為：0.9gL＜v₀²≤gL
解得：5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．
答：（1）A、B相對靜止時的速度的大小為2m/s，方向向左．
（2）因摩擦而產(chǎn)生的熱量為0.75J．
（3）B既能向右運(yùn)動，又不滑出滑板A的取值范圍為5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．

點(diǎn)評 本題考查了動量守恒定律和能量守恒定律的綜合運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，對于第二問，根據(jù)能量守恒可以求出系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的總熱量，在水平面上產(chǎn)生的熱量可以通過摩擦力乘以相對路程求出．