Question

4．如圖所示，在水平光滑軌道的右側(cè)裝有一彈性擋板，一質(zhì)量為M=0.5kg的木板正中間放有一質(zhì)量為m=2kg的小鐵塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在軌道上，木板右端距離擋板s₀=0.5m，小鐵塊與木板間動摩擦因數(shù)μ=0.2．現(xiàn)對鐵塊施加一沿著軌道水平向右的外力F=10N，小鐵塊與木板保持相對靜止，一起向右勻加速運(yùn)動，木板第一次與擋板碰前瞬間撤去外力．若木板與擋板碰撞時間極短，反彈后速度大小不變，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）求木板第一次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時間．
（2）若鐵塊和木板最終停下來時，鐵塊剛好沒滑出木板，求木板的長度．
（3）從開始運(yùn)動到鐵塊和木板都停下來的整個過程中，求木板通過的路程．

Answer 1

分析 （1）先分析鐵塊與木板能否一起運(yùn)動．根據(jù)牛頓第二定律求出木板靠最大靜摩擦力或滑動摩擦力產(chǎn)生的加速度，假設(shè)兩者不不發(fā)生相對運(yùn)動，由牛頓第二定律求得共同的加速度，從而作出判斷．再根據(jù)運(yùn)動學(xué)位移時間公式求解時間．
（2）由公式v₁=at，求出木板與擋板碰前的共同速度，木板第一次與擋板碰撞前瞬間撤去外力，鐵塊以速度v₁向右做減速運(yùn)動，木板與擋板碰撞后以速度v₁向左做減速運(yùn)動，木板與木塊相對滑動．由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求出板速度減為零經(jīng)過的時間和向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離．再由能量守恒定律求解．
（3）根據(jù)運(yùn)動學(xué)位移速度關(guān)系公式求出木板與擋板第二次碰后木板向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離．木板與鐵塊達(dá)到共速后，將以速度v₂運(yùn)動，再次與擋板碰撞．以后多次重復(fù)這些過程．運(yùn)用歸納法得到木板向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離與碰撞次數(shù)的關(guān)系式，即可求得木板通過的路程．

解答 解：（1）設(shè)木板靠最大靜摩擦力或滑動摩擦力產(chǎn)生的加速度為a_m，
由牛頓第二定律得：a_m=$\frac{μmg}{M}$=8m/s²，
假設(shè)木板與物塊不發(fā)生相對運(yùn)動，設(shè)共同加速度為a，則
a=$\frac{F}{M+m}$=4m/s²，
因a＜a_m，所以木板在靜摩擦力作用下與物塊一起以加速度a運(yùn)動．
設(shè)向右運(yùn)動第一次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時間為t，則x₀=$\frac{1}{2}$at²，解得：t=0.5s；
（2）設(shè)木板與擋板碰前，木板與物塊的共同速度為v₁，則：v₁=at，解得 v₁=2m/s，
木板第一次與擋板碰撞前瞬間撤去外力，物塊以速度v₁向右做減速運(yùn)動，加速度大小為a₁，
木板與擋板碰撞后以速度v₁向左做減速運(yùn)動，木板與木塊相對滑動，則木板加速度大小為a_m，
設(shè)板速度減為零經(jīng)過的時間為t₁，向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離為x₁，則：μmg=ma₁，v₁=a_mt₁，
x₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{m}}$，代入數(shù)據(jù)解得：a₁=2m/s²，t₁=0.25s，x₁=0.25m，
當(dāng)板速度向左為零時，設(shè)鐵塊速度為v₁′，則v₁′=v₁-a₁t₁，
設(shè)再經(jīng)過時間t₂鐵塊與木板達(dá)到共同速度v₂，木板向右位移為x₁′，則
  v₂=v₁′-a₁t₂，v₂=a_mt₂，x₁′=$\frac{1}{2}$a_mt₂²，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁′=1.5m/s，t₂=0.15s，v₂=1.2m/s，x₁′=0.09m，
因?yàn)閤₁′＜x₁，所以木板與鐵塊達(dá)到共速后，將以速度v₂運(yùn)動，再次與擋板碰撞．以后多次重復(fù)這些過程最終木板停在擋板處．
設(shè)木板長為L，則以木板和鐵塊系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)能量守恒定律得：μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²，代入數(shù)據(jù)解得：L=2.5m．
（3）設(shè)木板與擋板第二次碰后，木板向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離為x₂，則x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{m}}$，代入數(shù)據(jù)解得：x₂=0.09m，
綜上可知 v₂=0.6v₁，x₂=0.36x₁，
因?yàn)橐院笫嵌啻沃貜?fù)上述過程．同理，有木板與擋板第三次碰后，木板與鐵塊達(dá)到共速為v₃=0.6v₂，木板向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離為x₃=0.36x₂，
…
設(shè)木板與擋板第n-1次碰后，木板與鐵塊達(dá)到共速為v_n，同理有
v_n=0.6^n-1v₁
設(shè)木板與擋板第n次碰后，木板向左運(yùn)動的最遠(yuǎn)距離為x_n，同理有
x_n=0.36^n-1x₁ 
所以，從開始運(yùn)動到鐵塊和木板都停下來的全過程中，設(shè)木板運(yùn)動的路程為s，則 s=x₀+2x₁+2x₂+…+2x_n，n→∞
解得s=$\frac{41}{32}$m=1.28m．
答：（1）木板第一次與擋板碰撞前經(jīng)歷的時間是0.5s．
（2）若鐵塊和木板最終停下來時，鐵塊剛好沒滑出木板，則木板有2.5m．
（3）從開始運(yùn)動到鐵塊和木板都停下來的整個過程中，木板通過的路程是1.28m

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要正確判斷兩個物體的運(yùn)動狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合，邊計(jì)算邊分析．本題也可以根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求解，比較簡潔．