Question

某同學(xué)站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動．當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，繩恰好達(dá)到所能承受的最大拉力F而斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為手與球之間的繩長為

3

4

d，重力加速度為g．忽略手的運(yùn)動、小球的半徑和空氣阻力，試分析求解：
（1）繩斷時(shí)球的速度大小v₁；
（2）球落地時(shí)的速度大小v₂；
（3）繩能承受的最大拉力F；
（4）改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動．若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，則繩長應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

分析：（1）繩斷后小球做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律即可求解繩斷時(shí)球的速度大小v₁．
（2）繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動，由動能定理或機(jī)械能守恒定律可以求出小球落地時(shí)的速度大小v₂．
（3）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大�。�根據(jù)向心力公式即可求解；
（4）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₃，繩承受的最大推力不變，根據(jù)圓周運(yùn)動向心力公式及平拋運(yùn)動的規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)知識即可解題．

解答：解：（1）繩斷后．小球做平拋運(yùn)動，
豎直方向上：h=d-

3

4

d=

1

4

d=

1

2

gt²，
水平方向上：d=v₁t，
解得：v₁=

2gd

；
（2）繩子斷裂后小球做平拋運(yùn)動，只有重力做功，機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv₁²+mg（d-

3

4

d）=

1

2

mv₂²，
解得：v₂=

5 2 gd

；
（3）球做圓周運(yùn)動的半徑：R=

3

4

d，
小球做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：F-mg=m

v 2 1

R

，
解得，繩子能承受的最大拉力：F=

11

3

mg；
（4）設(shè)繩長為l，繩斷時(shí)球的速度大小為v₃，繩承受的最大拉力不變，
由牛頓第二定律得：F-mg=m

v 2 3

l

，解得：v₃=

8 3 gl

，
繩斷后球做平拋運(yùn)動，豎直位移為d-l，水平位移為x，
豎直方向：d-l=

1

2

gt′²，水平方向：x=v₃t′，
解得：x=4

l(d-l) 3

，
當(dāng)l=

d

2

時(shí)，x有極大值，最大值：x_max=

2 3

3

d；
答：（1）繩斷時(shí)球的速度大小為

2gd

；
（2）球落地時(shí)的速度大小為

5 2 gd

；
（3）繩能承受的最大拉力為

11

3

mg；
（4）繩長為

d

2

時(shí)，水平位移最大，最大水平距離為

2 3

3

d．

點(diǎn)評：本題主要考查了圓周運(yùn)動向心力公式及平拋運(yùn)動的規(guī)律的應(yīng)用，并能結(jié)合數(shù)學(xué)知識解題．