Question

用天文望遠(yuǎn)鏡長期觀測，人們在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)存在的形式和分布有了較深刻的認(rèn)識，雙星系統(tǒng)是由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動。
（1）計算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動周期T_計算。
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測到的運(yùn)動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1： (N>1)，為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的暗物質(zhì)，作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體邊線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）雙星繞它們的連線中點(diǎn)做圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力和牛頓第二定律得：

而
解得：。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140825/201408250006519791182.png" style="vertical-align:middle;" />，這個差異是以雙星連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著的暗物質(zhì)引起的，設(shè)這種暗物質(zhì)質(zhì)量為M′，位于兩星連線中點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)對雙星的影響相同，這時雙星做圓周運(yùn)動的向心力由雙星的萬有引力和M′對雙星的萬有引力提供，所以有：

又:
解得暗物質(zhì)的質(zhì)量為：
而暗物質(zhì)的體積為：
所以暗物質(zhì)的密度為：