Question

19．如圖所示，兩根平行金屬導軌處在同一水平面內，相距為l，導軌左端與阻值為R的電阻相連，今有一質量為m，長也為l的金屬棒，擱置在兩根金屬導軌上，與導軌垂直且接觸良好，整個裝置處于豎直的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，設磁場區(qū)域無限大，框架足夠長，導軌和金屬棒的電阻不計，導軌與棒間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g．
（1）現金屬棒以初速度v₀向右滑行，金屬棒從開始運動到停止的整個過程中，通過電阻的電荷量為q，求金屬棒在運動過程中回路產生的焦耳熱．
（2）若將電阻R換成電容為C的電容器，然后金屬棒在恒定外力F作用下，從靜止開始運動，求金屬棒的速度大小隨時間變化的關系．

Answer 1

分析 （1）根據電荷量q與磁通量變化量的關系，求金屬棒通過的位移，再由能量守恒定律求焦耳熱．
（2）根據牛頓第二定律和加速度的瞬時表達式，分析出加速度不變，得到金屬棒做勻加速運動，再由速度時間公式求解．

解答 解：（1）設金屬棒從開始運動到停止的整個過程中，金屬棒通過的距離為x．
則通過電阻的電荷量為：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}$t=$\frac{Bl\overline{v}t}{R}$=$\frac{Blx}{R}$
可得：x=$\frac{qR}{Bl}$
根據能量守恒定律，金屬棒在運動過程中回路產生的焦耳熱為：
Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-μmg•$\frac{qR}{Bl}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{μmgqR}{Bl}$．
（2）設t時刻金屬棒的速度為v，加速度為a，經過時間△t，速度變化量大小為△v，則有：a=$\frac{△v}{△t}$
根據牛頓第二定律得：
F-BIl-μmg=ma
又 I=$\frac{△Q}{△t}$=$\frac{△（CBlv）}{△t}$=$\frac{CBl△v}{△t}$=CBla
聯立得：F-CB²l²a-μmg=ma
可得金屬棒的加速度為：a=$\frac{F-μmg}{m+C{B}^{2}{l}^{2}}$
所以金屬棒做勻加速直線運動，則金屬棒的速度大小隨時間變化的關系為：v=at=$\frac{F-μmg}{m+C{B}^{2}{l}^{2}}$t
答：
（1）金屬棒在運動過程中回路產生的焦耳熱是$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{μmgqR}{Bl}$．
（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系為v=$\frac{F-μmg}{m+C{B}^{2}{l}^{2}}$t．

點評 本題從力和能量兩個角度分析電磁感應現象，感應電荷量 q=$\frac{△Φ}{R}$是常用的經驗公式，根據這個表達式可求金屬棒通過的距離．第2小題是一種微元法的思想，要學會應用．