Question

1．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面夾角為α=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面斜向上，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，電路中R₂為一電阻箱，已知燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，調(diào)節(jié)電阻箱使R₂=12R，重力加速度為g，閉合開(kāi)關(guān)S，現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，求：

（1）金屬棒下滑的最大速度v_m；
（2）當(dāng)金屬棒下滑距離為s₀時(shí)速度恰好達(dá)到最大，則金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的值，當(dāng)R₂為何值時(shí)，金屬棒達(dá)到勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，重力和安培力對(duì)棒做功，棒的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒列式可求出整個(gè)電路中產(chǎn)生的總電熱．
（3）金屬棒勻速下滑時(shí)受力平衡，根據(jù)平衡條件得到通過(guò)ab棒的電流，根據(jù)歐姆定律得到通過(guò)R₂的電流，由公式P=UI得到功率與電阻的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，并確定出條件．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速下滑時(shí)速度最大，達(dá)到最大時(shí)有：mgsinα=F_安
又安培力為：F_安=BIL 
感應(yīng)電流為：I=$\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{總}(cāng)}$
其中R_總=6R 
所以聯(lián)立得：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{6R}$       
解得最大速度為：v_m=$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）由動(dòng)能定理得：W_G-Q=$\frac{1}{2}$mv_m²  
得放出的電熱為：Q=2mgs₀sinα-$\frac{1}{2}$mv_m²  
代入上面的v_m值，可得：Q=mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$　          
（3）R₂上消耗的功率為：P₂=$\frac{{U}_{2}}{{R}_{2}}$
其中：U=IR_并=$\frac{BLv{R}_{并}}{3R+{R}_{并}}$，R_并=$\frac{4R{R}_{2}}{4R+{R}_{2}}$
又：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R+{R}_{并}}$
解得：P₂=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$×$\frac{16{R}^{2}{R}_{2}}{（4R+{R}_{2}）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}α}{{B}^{2}{L}^{2}}$×$\frac{16{R}^{2}}{\frac{16{R}^{2}}{{R}_{2}}+8R+{R}_{2}}$
當(dāng)R₂=R_L=4R時(shí)，R₂消耗的功率最大，最大功率為：
P_2m=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）金屬棒下滑的最大速度v_m為$\frac{3mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金屬棒由靜止開(kāi)始下滑2s₀的過(guò)程中，整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱為mgs₀-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）改變電阻箱R₂的值，當(dāng)R₂為4R時(shí)，金屬棒達(dá)到勻速下滑時(shí)R₂消耗的功率最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電路知識(shí)、電磁感應(yīng)知識(shí)，要明確速度最大的條件，正確分析力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、功與能的關(guān)系，第3問(wèn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求極值，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高，要加強(qiáng)訓(xùn)練，提高解題能力．