Question

如圖所示，加速電場M、N板間距離為L、電壓為U，M板內(nèi)側(cè)中點處有一靜止的帶電粒子（重力可以忽略），質(zhì)量為m，電荷量為q，N板中點處有一小孔S₁，其右側(cè)有一內(nèi)壁光滑半徑為R的金屬圓筒，圓筒內(nèi)有垂直圓筒橫截面方向的勻強磁場，圓筒壁上有一小孔S₂，S₁、S₂和圓心O在同一直線上，S₁與O的距離為d（d＞R），粒子經(jīng)電場加速后射入圓筒，且以最短的時間從小孔S₂射出并回到出發(fā)點，求（設(shè)碰撞過程無動能損失）：
（1）筒內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度大��；
（2）帶電粒子的運動周期．

Answer 1

分析：本題（1）的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出帶電粒子在圓筒內(nèi)運動的軌跡圖，然后結(jié)合幾何知識求出粒子做圓周運動的半徑，再根據(jù)牛頓第二定律即可求解．（2）題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出粒子運動的三個時間，即勻加速運動的時間、勻速運動的時間和在磁場中的運動時間，從而可求出周期．

解答：解：（1）帶電粒子從S₂孔進入，與筒壁碰撞2次再從S₂孔射出經(jīng)歷的時間為最短，如下圖所示．
設(shè)帶電粒子進入磁場的速度為v，根據(jù)動能定理有：qU=

1

2

mv2①
帶電粒子進入磁場做勻速圓周運動，其軌跡為三段圓孤，設(shè)圓孤半徑為r，由幾何關(guān)系知：r=Rcot

π

6

=

3

R②
根據(jù)牛頓第二定律有：Bvq=

mv 2

r

③
由①②③解得B=

1

R

2mU 3q

（2）帶電粒子從出發(fā)點至小孔S₁所用的時間為

t

1

，由L=

0+v 2 t

1

及qU=

1

2

mv

2

可解得t1=L

2m qU

帶電粒子從小孔S₁至小孔S₂所用的時間為

t

2

，由d-R=v

t

2

，可得t2=

d-R

v

=(d-R)

m 2qU

帶電粒子在磁場中的運動時間為

t

3

，則t3=

T

2

=

πr

v

=πR

3m 2qU

所以帶電粒子的運動周期T′=2(t1+t2)+t3=

2m qU

(2L+d-R+

3

2

πR)
答：（1）筒內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強度大小為B=

1

R

2mU 3q

．
    （2）帶電粒子的運動周期T=

2m qU

(2L+d-R+

3

2

πR)

點評：遇到帶電粒子在有界運強磁場中的偏轉(zhuǎn)問題，關(guān)鍵是首先畫出運動軌跡，再根據(jù)幾何知識確定圓心并求出半徑，然后再根據(jù)牛頓第二定律和周期概念列式求解即可．