Question

12．豎直放置的半徑為R的光滑圓環(huán)上套有一質(zhì)量為m的小球，小球在圓環(huán)上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)速度為v．下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A． 小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度v＞$\sqrt{4gR}$
• B． 小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度v＞$\sqrt{5gR}$
• C． 小球經(jīng)過(guò)任意一條直經(jīng)兩端時(shí)的動(dòng)能之和都相等
• D． 小球經(jīng)過(guò)豎直直經(jīng)兩端時(shí)的動(dòng)能之和最大

Answer 1

分析 （1）小球在圓環(huán)上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的最小速度為零，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求出最低點(diǎn)的最小速度；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律判斷小球經(jīng)過(guò)任一直徑兩端位置時(shí)的動(dòng)能之和是否是一定值．

解答 解：A、小球在圓環(huán)上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的最小速度v₀=0，
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0=2mgR$
解得：v=$\sqrt{4gR}$，則小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度v≥$\sqrt{4gR}$，故AB錯(cuò)誤；
C、小球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，小球在最高點(diǎn)的機(jī)械能等于最低點(diǎn)的機(jī)械能，設(shè)最低點(diǎn)為零勢(shì)能平面有：E_k1+mg•2R=E_k2=定量，
則E_K1+E_K2+mg•2R=2C，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中小球經(jīng)過(guò)某一位置重力勢(shì)能減小多少，則經(jīng)過(guò)關(guān)于圓心對(duì)稱的位置重力勢(shì)能就增加多少．所以小球經(jīng)過(guò)任一直徑兩端位置時(shí)的動(dòng)能之和是一個(gè)恒定值．故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，關(guān)鍵理清向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．