Question

8．如圖甲所示，小軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上，在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強電場在半徑為R的圓形區(qū)域加有與xOy平面垂直的勻強磁場，在坐標原點O處放置一帶電微粒發(fā)射裝置．它可以連續(xù)不斷地發(fā)射具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速為v₀的帶電粒子，已知重力加速度大小為g．
（1）當帶電微粒發(fā)射裝置連續(xù)不斷地沿y軸正方向發(fā)射這種帶電微粒時，這些帶電微粒將沿圓形磁場區(qū)域的水平直徑方向離開磁場，并繼續(xù)沿x軸正方向運動．求電場強度和磁感應強度的大小和方向．
（2）調(diào)節(jié)坐標原點處的帶電微粒發(fā)射裝置，使其在xoy平面內(nèi)不斷地以相同速率v₀沿不同方向?qū)⑦@種帶電微粒射入第1象限，如圖乙所示．現(xiàn)要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運動，則在保證勻強電場、勻強磁場的強度及方向不變的條件下，應如何改變勻強磁場的分布區(qū)域？并求出符合條件的磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電微粒所受重力與電場力平衡求出電場強度的大小與方向；由幾何關(guān)系確定粒子做圓周運動的半徑，然后根據(jù)半徑公式求出磁感應強度；
（2）為使這些帶電微粒經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后沿x軸正方向運動．由圖可知，它們必須從經(jīng)O點作圓運動的各圓的最高點飛離磁場，結(jié)合數(shù)學知識求出符合條件的磁場區(qū)域的圓方程，最后求出最小面積．

解答 解：（1）帶電粒子從坐標原點O處沿y軸正方向進入磁場后，最終沿圓形磁場區(qū)域的水平直徑離開磁場并繼續(xù)沿x軸正方向運動，
則帶電微粒所受重力與電場力平衡．設(shè)電場強度大小為E，由平衡條件得：mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，電場方向沿y軸正方向；
帶電微粒進入磁場后，做勻速圓周運動，且圓運動半徑r=R．
設(shè)勻強磁場的磁感應強度大小為B．由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，磁場方向垂直于紙面向外．
（2）設(shè)由帶電微粒發(fā)射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，
則θ滿足0≤θ＜$\frac{π}{2}$，由于帶電微粒最終將沿x軸正方向運動，
故B應垂直于xoy平面向外，帶電微粒在磁場內(nèi)做半徑為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$勻速圓周運動．
由于帶電微粒的入射方向不同，若磁場充滿紙面，
它們所對應的運動的軌跡如圖所示

為使這些帶電微粒經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后沿x軸正方向運動．
由圖可知，它們必須從經(jīng)O點作圓運動的各圓的最高點飛離磁場．
這樣磁場邊界上P點的坐標P（x，y）應滿足方程：
x=Rsinθ，
y=R（1-cosθ），
所以磁場邊界的方程為：
x²+（y-R）²+R²
由題中0≤θ＜$\frac{π}{2}$的條件可知
以θ→$\frac{π}{2}$的角度射入磁場區(qū)域的微粒的運動軌跡
（x-R）²+y²=R²
即為所求磁場的另一側(cè)的邊界．
因此，符合題目要求的最小磁場的范圍應是圓
x²+（y-R）²=R²與圓（x-R）²+y²=R²的
交集部分（圖中陰影部分）．
由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場的最小面積為：
S_min=（$\frac{π}{2}$-1）$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$=（$\frac{π}{2}$-1）R²．
答：（1）電場強度的大小為$\frac{mg}{q}$方向沿y軸正方向；磁感應強度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，方向垂直紙面向外．
（2）勻強磁場的分布區(qū)域如圖所示，求出符合條件的磁場區(qū)域的最小面積為（$\frac{π}{2}$-1）R²．

點評 本題的關(guān)鍵與難點是由數(shù)學知識求滿足條件的磁場區(qū)域與最小面積，平時要注重數(shù)學方法在物理中的應用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．