Question

在xoy平面直角坐標(biāo)系的第Ⅰ象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，如圖所示，OA與y軸所夾區(qū)域存在y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，其它區(qū)域存在垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場；有一帶正電粒子質(zhì)量m，電量q，從y軸上的P點(diǎn)沿著x軸正方向以v₀的初速度射入電場，運(yùn)動一段時間沿垂直于OA方向經(jīng)過Q點(diǎn)進(jìn)入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)，過y軸正半軸上的M點(diǎn)再次垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場。已知OP = h，不計粒子的重力。

⑴求粒子垂直射線OA經(jīng)過Q點(diǎn)的速度v_Q；

⑵求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E與勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的比值；

⑶粒子從M點(diǎn)垂直進(jìn)入電場后，如果適當(dāng)改變電場強(qiáng)度，可以使粒子再次垂直OA進(jìn)入磁場，再適當(dāng)改變磁場的強(qiáng)弱，可以使粒子再次從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場；如此不斷改變電場和磁場，會使粒子每次都能從y軸正方向上某點(diǎn)垂直進(jìn)入電場，再垂直OA方向進(jìn)入磁場……求粒子從P點(diǎn)開始經(jīng)多長時間能夠運(yùn)動到O點(diǎn)？

 

Answer 1

【答案】

⑴⑵⑶

【解析】⑴設(shè)垂直OA到達(dá)Q點(diǎn)的速度為v_Q，將速度分解為水平方向的v₀和豎直方向的v_y，如圖所示，則

v_y＝，（2分）     v_Q＝（2分）

⑵做出粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖，根據(jù)幾何知識可得出原點(diǎn)O即為軌跡圓的圓心，OQ為軌跡圓的半徑，設(shè)為R。

在電場中的運(yùn)動，由類平拋的知識可得：

，，

可求得（2分）

在磁場中的運(yùn)動，由圓周運(yùn)動的知識可得：

，。    （2分）

所以     （1分）

⑶設(shè)粒子第一次在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R₁，在電場中運(yùn)動的時間為t₁₁，在磁場中運(yùn)動的時間為t₁₂，在電場、磁場中運(yùn)動的總時間為t₁，則有

，，    （1分）

又由解得，    （1分）

從而有      （1分）

由題意知，改變電場、磁場的強(qiáng)弱后，粒子重復(fù)前面的運(yùn)動情況，又設(shè)粒子第二次在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為R₂，在電場中運(yùn)動的時間為t₂₁，在磁場中運(yùn)動的時間為t₂₂，在電場、磁場中運(yùn)動的總時間為t₂，類似上面的求解，有

，，

又由解得，，將此結(jié)果代入上式可得

      （1分）

…………

類推可知，粒子第n次在電場、磁場中運(yùn)動的總時間        （1分）

所以粒子最終運(yùn)動到O點(diǎn)的時間為

       （1分）