Question

17．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第三象限里有一加速電場(chǎng)，一個(gè)電荷量為q、質(zhì)量為m的粒子，從靜止開始經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，垂直x軸從A點(diǎn)進(jìn)入第二象限，A點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為R．在第二象限的區(qū)域內(nèi)，存在著指向O點(diǎn)的均勻輻射狀電場(chǎng)，距O點(diǎn)R處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E，粒子恰好能垂直y軸從P點(diǎn)進(jìn)入第一象限．當(dāng)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一段距離R后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，磁感強(qiáng)度為B，粒子在磁場(chǎng)中速度方向偏轉(zhuǎn)60°，粒子離開磁場(chǎng)區(qū)域后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，通過(guò)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第四象限．
求：（1）加速電場(chǎng)的電壓U；
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；
（3）求粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出帶電粒子經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)后的速度，進(jìn)入第三象限的輻向電場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力提供向心力，由于是垂直于y軸進(jìn)入第一象限，則在第二象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的R，從而求出加速電壓．
（2）由題設(shè)條件，平行于x軸進(jìn)入第一象限的帶電粒子穿過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)域后偏轉(zhuǎn)60°后又沿直線從Q點(diǎn)穿出，畫出帶電粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可以求出粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，那么圓形區(qū)域的最小面積是以圓周運(yùn)動(dòng)的弦為直徑的圓的面積，從而求出磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．
（3）在第（2）的基礎(chǔ)上，求出帶電粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，除以速度從而求出了在第一象限的總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在加速電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理有
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由題意，粒子在第二象限輻射狀電場(chǎng)中只能做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力提供向心力，有$qE=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得U=$\frac{ER}{2}$
（2）粒子在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
由①或②得v=$\sqrt{\frac{qER}{m}}$
代入④式得    r=$\frac{1}{2}R$         
如圖所示，粒子在a點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，以c為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)，速度偏轉(zhuǎn)角是60^o，
由幾何關(guān)系可知△abc是正三角形，ab=r，以ab為直徑的圓形面積即為磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．
 最小面積為S_min=$π（\frac{r}{2}）^{2}$=$\frac{π{R}^{2}}{16}$                          
（3）基于第（2）問(wèn)基礎(chǔ)，分析作圖后由幾何關(guān)系有：
Pa=R
ab弧長(zhǎng)為：l=$\frac{2πr}{6}$=$\frac{πR}{6}$
be=R-ab•cos60°=$\frac{3R}{4}$
bQ=$\frac{be}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$                      
粒子在第一象限的路程為s=Pa+l+bQ=（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）R
則t=$\frac{s}{v}$=$\frac{（1+\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}）R}{\sqrt{\frac{qER}{m}}}$═（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
答：（1）加速電場(chǎng)的電壓U為$\frac{ER}{2}$．
（2）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為$\frac{π{R}^{2}}{16}$．
（3）求粒子在第一象限中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（1+$\frac{π}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)有兩個(gè)：①帶電粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入輻向電場(chǎng)恰好做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，②進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后偏轉(zhuǎn)60°又從磁場(chǎng)中穿出，從而確定做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．那么圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積是以那段弧所對(duì)弦為直徑的圓的面積．