Question

（2008?東城區(qū)三模）我國將于2008年發(fā)射圍繞地球做圓周運(yùn)動的“神州7號”載人飛船，宇航員將進(jìn)行太空行走．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．“神州7號”載人飛船上的宇航員離開飛船后身上的速度計顯示其對地心的速度為v，宇航員及其設(shè)備的總質(zhì)量為M，求該宇航員距離地球表面的高度
（2）該高度處的重力加速度為多少？
（3）已知宇航員及其設(shè)備的總質(zhì)量為M，宇航員通過向后噴出氧氣而獲得反沖力，每秒鐘噴出的氧氣質(zhì)量為m．為了簡化問題，設(shè)噴射時對氣體做功的功率恒為P，在不長的時間t內(nèi)宇航員及其設(shè)備的質(zhì)量變化很小，可以忽略不計．求噴氣t秒后宇航員獲得的動能．

Answer 1

分析：（1）地球表面重力等于萬有引力mg=G

M0m

R2

，宇航員繞地球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力G

M0M

r2

=M

v2

r

，
聯(lián)立解得r．則該宇航員距離地球表面的高度h=r-R．              
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求解該處的重力加速度．
（3）因為噴射時對氣體做功的功率恒為P，而單位時間內(nèi)噴氣質(zhì)量為m，故在t時間內(nèi)，據(jù)動能定理P×t=

1

2

mt×v²可求得噴出氣體的速度v．
另一方面探測器噴氣過程中系統(tǒng)動量守恒0=mtv-Mu．又宇航員獲得的動能，E_k=

1

2

Mu²．聯(lián)立解得噴氣t秒后宇航員獲得的動能．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M₀，在地球表面，對于質(zhì)量為m的物體有mg=G

M0m

R2

…①
離開飛船后的宇航員繞地球做勻速圓周運(yùn)動，有G

M0M

r2

=M

v2

r

…②
聯(lián)立解得，r=

R2g

v2

…③
該宇航員距離地球表面的高度h=r-R=

R2g

v2

-R．…④
（2）在距地心r高處，對于質(zhì)量為m物體有mg′=G

M0m

r2

…⑤
聯(lián)立①③⑤式得g′=

v4

R2g

（3）因為噴射時對氣體做功的功率恒為P，而單位時間內(nèi)噴氣質(zhì)量為m，故在t時
間內(nèi)，據(jù)動能定理Pt=

1

2

mtv2可求得噴出氣體的速度為：v=

2P m

⑥
另一方面探測器噴氣過程中系統(tǒng)動量守恒，則：0=mtv-Mu…⑦
又宇航員獲得的動能，Ek=

1

2

Mu2…⑧
聯(lián)立解得：Ek=

1

2

M(

mt

M

?

2P m

)2=

mPt2

M

答：（1）該宇航員距離地球表面的高度為

R2g

v2

-R
（2）該高度處的重力加速度為

v4

R2g

（3）噴氣t秒后宇航員獲得的動能為

mPt2

M

．

點(diǎn)評：本題考查了天體運(yùn)動和動能定理的知識，處理這類題目的主題思路是萬有引力提供天體圓周運(yùn)動所需要的向心力，找出誰對誰的吸引力提供做圓周運(yùn)動天體所需要的向心力是處理本類問題的關(guān)鍵．2008年是我國進(jìn)一步完成奔月工程的技術(shù)攻堅年，即將發(fā)射的神州七號衛(wèi)星將要實現(xiàn)中國人的太空行走等重大舉措，故高三同學(xué)們在復(fù)習(xí)階段應(yīng)對天體力學(xué)引起足夠的重視．