Question

【題目】如圖所示，在水平線ab下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向豎直向下，ab的上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)中有一內(nèi)、外半徑分別為R、的半圓環(huán)形區(qū)域，兩半圓與ab的交點(diǎn)分別為M、N、C、D。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子在電場(chǎng)中P點(diǎn)靜止釋放，由M進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)第1次出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力。

（1）求粒子從P到M所用的時(shí)間t；

（2）改變粒子靜止釋放位置（仍在線段PM上），要使粒子能夠到達(dá)C點(diǎn)，求釋放位置距M點(diǎn)的距離x；

（3）若粒子從與P同一水平線上的Q點(diǎn)水平射出，能由M進(jìn)入磁場(chǎng)，始終在環(huán)形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，且所用的時(shí)間最少，求粒子在Q時(shí)速度的大小。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求出粒子到達(dá)M點(diǎn)的速度，然后結(jié)合動(dòng)量定理即可求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）根據(jù)周期性結(jié)合幾何關(guān)系求解粒子的軌道半徑，從而找到速度關(guān)系式，根據(jù)動(dòng)能定理求解釋放位置距M點(diǎn)的距離x.

由圓周運(yùn)動(dòng)的條件與臨界條件，求出粒子到達(dá)M的速度，然后由動(dòng)能定理即可求出。

（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，所受洛倫茲力提供向心力，有

設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受電場(chǎng)力為F，有F=qE ；

設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有F=ma ；

粒子在電場(chǎng)中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有v=at；

聯(lián)立式得；

（2）考慮周期性，假設(shè)粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過n的半圓到達(dá)C點(diǎn)，則 R-R=n2r

得：，又

得

根據(jù)動(dòng)能定理： ，得 ，n=1,2,3,….

（3）粒子從M點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后都從N點(diǎn)射出，當(dāng)軌跡與內(nèi)圓相切時(shí)，所用的時(shí)間最短，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為，由幾何關(guān)系可知

設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與ab的夾角為θ，即圓弧所對(duì)圓心角的一半，由幾何關(guān)系可知⑦；

粒子從Q射出后在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)方向上的分運(yùn)動(dòng)和從P釋放后的運(yùn)動(dòng)情況相同，所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沿豎直方向的速度同樣為v，在垂直于電場(chǎng)方向的分速度始終為，由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可知

得．