Question

如圖所示，在空間中有一坐標(biāo)系oxy，其第一象限中充滿(mǎn)著兩個(gè)方向不同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ．直線(xiàn)OP是它們的邊界．區(qū)域Ⅰ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直紙面向內(nèi)，區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3L，3L）．一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從P點(diǎn)平行于y軸正方向以速度v₀=

2BqL

m

射入?yún)^(qū)域Ⅰ，經(jīng)區(qū)域Ⅰ偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ（忽略粒子重力），求：
（1）粒子在Ⅰ和Ⅱ兩磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間及離開(kāi)磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子射入磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和向心力公式求半徑，并得到半徑之比；
（2）由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得到周期公式T=

2πm

qB

，粒子在區(qū)域Ⅰ中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ₁=

3

2

π，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1=

θ1

2π

T1，粒子在區(qū)域Ⅱ中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ2=

π

2

，粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=

θ2

2π

T2．即可求得總時(shí)間．
將v₀=

2BqL

m

代入半徑公式R=

mv

qB

，得到粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由幾何關(guān)系求出粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)．

解答：解：（1）帶電粒子射入磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得
    qvB=m

v2

R

  ①
解得 R=

mv

qB

    ②
所以，粒子在Ⅰ和Ⅱ兩磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為：R₁=

mv0

2qB

，R₂=

mv0

qB

    ③
解得

R1

R2

=

1

2

    ④
（2）粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)=

2πm

qB

   ⑤
可得 T1=

πm

qB

，T2=

2πm

qB

            ⑥
粒子在區(qū)域Ⅰ中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ₁=

3

2

π    ⑦
粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1=

θ1

2π

T1   ⑧
解得t1=

3πm

4qB

      ⑨
粒子在區(qū)域Ⅱ中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ2=

π

2

       ⑩
粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2=

θ2

2π

T2     （11）
解得t2=

πm

2qB

            （12）
所以t=t₁+t₂=

5πm

4qB

      （13）
將速度v₀=

2BqL

m

代入得
  R₁=L，R₂=2L       （14）
由幾何關(guān)系得

.

OO2

=3L-R1，

.

O2M

=R2               （15）
粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的橫坐標(biāo)為x=

.

OO2

+

.

O2M

=4L      （16）
粒子離開(kāi)磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)（4L，0）（17）
答：（1）粒子在Ⅰ和Ⅱ兩磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比是1：2；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是

5πm

4qB

，離開(kāi)磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)是（4L，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)常用方法是畫(huà)軌跡，由幾何知識(shí)求半徑．