Question

19．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)；在第二、三象限內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線(xiàn)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里．一帶正電荷q、質(zhì)量為m的粒子以某一速度自磁場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，并從O點(diǎn)射出，粒子射出磁場(chǎng)的速度方向與x軸的夾角θ=30°，大小為v．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為磁場(chǎng)左右邊界間距的兩倍．粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下又由原軌跡返回O點(diǎn)再次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次離開(kāi)磁場(chǎng)．已知粒子從A點(diǎn)射入到再次離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間恰好等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期．不計(jì)粒子重力．求
（1）粒子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度的方向和A點(diǎn)到x軸的距離；
（2）粒子再次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，抓住速度方向與半徑垂直確定出粒子的速度方向，通過(guò)幾何關(guān)系求出A點(diǎn)到x軸的距離．
（2）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系再次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子將從第四象限穿出磁場(chǎng)的位置的坐標(biāo)；
（3）粒子在電場(chǎng)中做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，結(jié)合粒子第一次在磁場(chǎng)中和第二次在磁場(chǎng)中的時(shí)間求出在電場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）幾何關(guān)系可知，直線(xiàn)OO?與v垂直．在直角三角形OO?D中∠OO?D=30°．設(shè)磁場(chǎng)左右邊界間距為d，則OO?=2d．依題意可知，粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心即為O?點(diǎn)，圓孤軌跡所對(duì)的圓心角為30°，且O?A為圓弧的半徑R．
由此可知，粒子自A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的速度與左邊界垂直．

A點(diǎn)到x軸的距離
$\overline{AD}$=R（1-co30°）…①
由洛侖茲力公式、牛頓第二定律及圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，得
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
聯(lián)立①②式得
$\overline{AD}$=$\frac{mv}{qB}$（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）…③
（2）根據(jù)幾何關(guān)系再次進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，粒子將從第四象限穿出磁場(chǎng)
$\overline{OM}=2R•cos30°$…④
$R=\frac{mv}{qB}$…⑤
聯(lián)立上式得：$\overline{OM}=\sqrt{3}\frac{mv}{qB}$…⑥
所以M點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，$-\sqrt{3}\frac{mv}{qB}$）
（3）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，第一次在磁場(chǎng)中飛行的時(shí)間為t₁，有
${t}_{1}=\frac{T}{12}$…⑦
$T=\frac{2πm}{qB}$…⑧
依題意，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°．由幾何關(guān)系可知，粒子再次從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方向與磁場(chǎng)右邊夾角為60°．設(shè)粒子第二次在磁場(chǎng)中飛行的圓弧的圓心為O″，O″必定在直線(xiàn)OC上．設(shè)粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)右邊界交于P點(diǎn)，則∠OO″P=120°．設(shè)粒子第二次進(jìn)入磁場(chǎng)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有
${t}_{2}=\frac{1}{3}T$…⑨
設(shè)帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，依題意得
t₃=T-（t₁+t₂）…⑩
由勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和牛頓定律可知
-v=v-at₃…⑪
$a=\frac{qE}{m}$…⑫
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨可得
$E=\frac{12}{7π}Bv$…⑬
答：（1）粒子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度的方向水平向右，A點(diǎn)到x軸的距離是$\frac{mv}{qB}$（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）粒子再次離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置M點(diǎn)坐標(biāo)是（0，$-\sqrt{3}\frac{mv}{qB}$）；
（3）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小是$\frac{12}{7π}Bv$，方向與x軸正向夾角應(yīng)為150°．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中 的運(yùn)動(dòng)，正確地畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題的關(guān)鍵，抓住粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合半徑公式、周期公式和幾何關(guān)系進(jìn)行求解，第一次進(jìn)入電場(chǎng)做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，第二次進(jìn)入電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．