Question

（2010?杭州二模）如圖甲所示，在虛線框兩側(cè)區(qū)域存在有大小為B、方向分別為水平向左和水平向右的勻強磁場．用薄金屬條制成的閉合正方形框aa′b′b邊長為L，質(zhì)量為m，電阻為R．金屬方框水平放置于距磁場上邊界H處，由靜止開始下落，其平面在下落過程中始終保持水平，當其落人磁場后，aa′整邊、bb′整邊分別位于左、右兩邊的磁場中，方向均與磁場方向垂直，乙圖是從上向下看的俯視圖．（不計空氣阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（設磁場區(qū)域在豎直方向足夠長）；
（2）當方框下落的速度為v時，求此時方框內(nèi)感應電流的功率P；
（3）從進入磁場開始計時經(jīng)過時間t，方框在磁場中下落了高度h，速度達到v_t．若在這段時間內(nèi)感應電流做的功與一恒定電流，I₀在t時間內(nèi)在該框內(nèi)做的功相同，求恒定電流l₀的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)自由落體運動公式，結(jié)合安培力等于重力，從而求出在磁場中速度，再由v₀與v′比較大小，從而確定求解；
（2）根據(jù)電功率表達式，當方框下落的速度為 v 時，即可求解；
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒關系，與焦耳定律，即可求解．

解答：解：（1）根據(jù)自由落體公式：v²=2gH，
可得方框剛進入磁場時的速度：v₀=

2gH

，
令方框在磁場中達到穩(wěn)定時速度為v′，則有：
mg=BI×2L=

2BLv′

R

B×2L  
可得：v′=

mgR

4B2L2

，
若v₀≥v′，則方框進入磁場后做加速度變小減速運動，其最大速度為：v₀=

2gH

；
若v₀＜v′，則方框進入磁場后做加速度變小加速運動，其最大速度為：v′=

mgR

4B2L2

；
（2）當方框下落的速度為 v 時，方框內(nèi)感應電流的功率：P=I²R=4

B2L2v2

R

；
（3）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關系可得：mg（H+h）=

1

2

mv_t²+I₀²Rt
因此等效電流：I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2 t Rt

．
答：（1）當v₀≥v′，則方框下落的最大速度v_m=

2gH

；當v₀＜v′，則方框下落的最大速度v_m═

mgR

4B2L2

；
（2）當方框下落的速度為v時，此時方框內(nèi)感應電流的功率P=4

B2L2v2

R

；
（3）恒定電流l₀的表達式I₀=

mg(H+h)- 1 2 m v 2 t Rt

．

點評：考查運動學公式的應用，掌握安培力表達式及受力平衡條件，理解電功率表達式與能量轉(zhuǎn)化與守恒定律的應用，注意安培力的方向，同時根據(jù)進入磁場的速度大小不同而分情況討論．