Question

5．足夠長(zhǎng)的光滑水平面上，疊放在一起的物塊A和長(zhǎng)薄木板B質(zhì)量均為m=1kg．當(dāng)B板右端J位于水平面上C點(diǎn)時(shí)，物塊A在板的左端且有向右速度為v₀=2m/s，B板的速度為0．并以此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)．已知J端進(jìn)入電場(chǎng)之前A、B已達(dá)到共同速度，A、B間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，g取10m/s²．B板右端J帶q=0.01C的正電荷（可視為點(diǎn)電荷），在寬d=1m的PQ區(qū)域內(nèi)存在方向水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，已知A始終沒有滑落B板．求：
（1）B板右端J端剛進(jìn)入邊界P的速度；
（2）若電場(chǎng)強(qiáng)度E=150N/C，J端在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中A、B間的摩擦力大小以及J端在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E=300N/C，整個(gè)過程中因A、B間的摩擦而產(chǎn)生的熱量為多少？

Answer 1

分析 （1）B板右端J端進(jìn)入邊界前，A做勻減速運(yùn)動(dòng)，B做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出兩者的加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度相等經(jīng)歷的時(shí)間，以及此時(shí)B板的速度．
（2）假設(shè)J邊進(jìn)入PQ區(qū)域后A、B剛好能一起做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出電場(chǎng)強(qiáng)度的臨界值，再分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出J端在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）分析出A、B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出B板至少長(zhǎng)度，再求摩擦生熱．

解答 解：（1）B板右端J端進(jìn)入邊界前，設(shè)A、B的加速度大小為a，由牛頓第二定律，μmg=ma，得 a=1m/s²
A做勻減速運(yùn)動(dòng)，B做產(chǎn)加速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)經(jīng)時(shí)間t，A、B達(dá)到共同速度v，由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式得：v=at=v₀-at，
代入數(shù)據(jù)解得：t=1s；v=1m/s 
即B板右端J端剛進(jìn)入邊界P的速度是1m/s．
（2）假設(shè)J邊進(jìn)入PQ區(qū)域后A、B剛好能一起做勻變速直線運(yùn)動(dòng)
對(duì)塊A：μmg=ma_m
代入數(shù)據(jù)解得：a_m=1m/s²
電場(chǎng)強(qiáng)度臨界值為：qE_m=2ma_m=2×1=2N；E_m=200N/C   
當(dāng)E=150N/C＜E_m=200N/C，A、B一起做（往返式）勻變速直線運(yùn)動(dòng)．
對(duì)整體，根據(jù)牛頓第二定律知：
  a₁=$\frac{qE}{2m}$=$\frac{0.01×150}{2×1}$=0.75m/s²．
對(duì)A，由牛頓第二定律得 f=ma₁=0.75N
由-v=v-a₁t，得 t=$\frac{2v}{{a}_{1}}$=$\frac{2×1}{0.75}$s=$\frac{8}{3}$s
（3）進(jìn)入電場(chǎng)之前A、B的相對(duì)位移為 x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t-$\frac{v}{2}$t=1m；
E=300N/C＞200 N/C時(shí)，A、B發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，但板B做（往返式）勻變速直線運(yùn)動(dòng)
對(duì)板B：qE-μmg=ma，-v=v-a₂t₂，
代入數(shù)據(jù)解得：B在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t₂=1s； 
此時(shí)A的速度為 v′=v-at₂=1-1×1=0，B運(yùn)動(dòng)的位移為0
A運(yùn)動(dòng)的位移為 x₂=vt₂-$\frac{1}{2}$μgt₂²=0.5m．    
B離開電場(chǎng)后，設(shè)經(jīng)過t₃時(shí)間A、B達(dá)到共同速度，則：
 v-μgt₃=μgt₃，t₃=0.5s  
A、B的相對(duì)位移為
  x₃=vt₃-$\frac{1}{2}$μgt₃²-$\frac{1}{2}$μgt₃²
代入數(shù)據(jù)解得 x₃=0.25m    
AB間的相對(duì)位移△x=x₁+x₂+x₃=1+0.5+0.25m=1.75m 
A、B間的摩擦而產(chǎn)生的熱量為 Q=μmg△x=1.75J
答：
（1）B板右端J端剛進(jìn)入邊界P的速度為1m/s；
（2）J端在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中A、B間的摩擦力大小是0.75N，J端在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{8}{3}$J．
（3）A、B間的摩擦而產(chǎn)生的熱量為1.75J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清A、B在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，在第二、三問中，需要討論臨界情況，分情況討論．