Question

如圖所示，質(zhì)量為m的小球P自距離A點(diǎn)4R高處下落，然后沿A點(diǎn)切線方向進(jìn)入豎直平面內(nèi)的光滑軌道ABC．AB是半徑為R的

1

4

圓弧軌道，BC是直徑為R的半圓弧軌道，B是軌道最低點(diǎn)，在B點(diǎn)有另一個(gè)質(zhì)量也為m的靜止的小球Q．小球P和小球Q碰撞后粘在一起變成整體S，整體S繼續(xù)沿半圓軌道向上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好為零，求：
（1）小球P和小球Q碰撞時(shí)損失的機(jī)械能；
（2）整體S離開C點(diǎn)后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球P撞擊小球Q前的速度大小，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出兩球的共同速度，從而根據(jù)能量守恒求出碰撞過程中機(jī)械能的損失量．
（2）結(jié)合整體在C點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出在C點(diǎn)的速度，離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系求出豎直下落的高度．

解答：解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：mg(4R+R)=

1

2

m

v

2 0

解得：小球P撞擊小球Q前的速度為：v0=

10gR

由動(dòng)量守恒定律有：mv₀=2mv
解得：兩球的共同速度為：v=

1

2

10gR

所以碰撞中的機(jī)械能損失為：△E=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

×2mv2=2.5mgR
（2）因?yàn)檎�體S在C點(diǎn)對(duì)軌道的壓力恰為零，所以有：2mg=

2m v 2 C

R 2

vC=

gR 2

兩球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)：x=v₀t，y=

1

2

gt2
AB軌道位于以C點(diǎn)為圓心的圓周上：x²+y²=R²
解得：y=

5 -1

2

R=0.618R
答：（1）小球P和小球Q碰撞時(shí)損失的機(jī)械能2.5mgR．
（2）整體S離開C點(diǎn)后至撞上圓弧軌道的過程中豎直下落的高度為0.618R．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)量守恒、能量守恒定律、牛頓第二定律的綜合，涉及到平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．