Question

4．如圖所示，處于豎直平面內(nèi)的平行光滑導(dǎo)軌置于足夠長(zhǎng)的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1.0T，質(zhì)量M=0.1kg的金屬桿ab垂直于導(dǎo)軌平面，在外力作用下以恒定的速度v沿導(dǎo)軌向左勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌寬度L=$\frac{1}{3}$m，電阻R₁=R₃=2Ω，R₂=1Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，平行板電容器水平放置，板間距離d=10mm，內(nèi)有一質(zhì)量m=5×10^-2kg，電量q=5×10^-3C的小球．在開(kāi)關(guān)S₁閉合，S₂斷開(kāi)時(shí)微粒處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)S₁、S₂都閉合后微粒以a=$\frac{5}{9}$g的加速度勻加速向下運(yùn)動(dòng)（g=10m/s²）．求：
（1）金屬桿的電阻r和運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E；
（2）S₁、S₂都閉合后某時(shí)刻撤去外力，同時(shí)斷開(kāi)S₁、S₂，從此刻到金屬桿停下，金屬桿產(chǎn)生的熱量Q_ab及通過(guò)金屬桿的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路歐姆定律、串并聯(lián)電路的特點(diǎn)，以及共點(diǎn)力平衡和牛頓第二定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和金屬桿的電阻．
（2）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，結(jié)合E=BLv求出導(dǎo)體棒的速度，根據(jù)能量守恒定律求出整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量，從而得出金屬桿產(chǎn)生的熱量，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)用微分思想求出導(dǎo)體棒通過(guò)的位移大小，結(jié)合q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}(cāng)}$求出通過(guò)金屬桿的電荷量．

解答 解：（1）S₁閉合，S₂斷開(kāi)時(shí)，有：
${I}_{1}=\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$…①
U_c1=I₁（R₁+R₂）…②
根據(jù)小球處于靜止有：$q\frac{{U}_{c1}}0v7xwtp=mg$…③
S₁、S₂都閉合時(shí)有：
${I}_{2}=\frac{E}{\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}+{R}_{2}+r}$…④
U_c2=I₂R₂…⑤
根據(jù)牛頓第二定律有：$mg-q\frac{{U}_{c2}}8xinbnf=ma$…⑥
由①～⑥，代入數(shù)據(jù)解得：$E=\frac{4}{3}V$，r=1Ω…⑦
（2）根據(jù)E=BLv得速度為：v=$\frac{E}{BL}=\frac{\frac{4}{3}}{1×\frac{1}{3}}m/s=4m/s$…⑧
根據(jù)能量守恒得，整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量為：$Q=\frac{1}{2}M{v}^{2}=\frac{1}{2}×0.1×16J=0.8J$…⑨
則金屬桿產(chǎn)生的熱量為：${Q}_{ab}=\frac{r}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}Q=\frac{1}{4}×0.8J=0.2J$…⑩
設(shè)從金屬桿撤去外力F到停下的位移為x，對(duì)棒分析，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}=Ma=M\frac{△v}{△t}$，
根據(jù)微分思想得：0-v=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{M（{R}_{1}+{R}_{2}+r）}（{v}_{1}△{t}_{1}+{v}_{2}△t+…$v_n△t_n）=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{M（{R}_{1}+{R}_{2}+r）}x$，
代入數(shù)據(jù)解得：x=14.4m．
則通過(guò)的電荷量為：q=$\frac{Blx}{{R}_{總}(cāng)}$，
代入數(shù)據(jù)解得：q=1.2C．
答：（1）金屬桿的電阻r為1Ω，運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為$\frac{4}{3}V$．
（2）從此刻到金屬桿停下，金屬桿產(chǎn)生的熱量為0.2J，通過(guò)金屬桿的電荷量為1.2C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)和能量的綜合運(yùn)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，掌握安培力的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{總}(cāng)}$和電量的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{{R}_{總}(cāng)}$，并能靈活運(yùn)用．