Question

20．如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m，細(xì)線AC長(zhǎng)l，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平距離和豎直距離相等．
（1）若AB細(xì)線水平且拉力等于重力的一半，求此時(shí)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁的大��；
（2）若要使AB細(xì)線上的拉力為零，求裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當(dāng)細(xì)線AB張力為零時(shí)，繩子AC拉力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得：
Tcosθ=mg，
Tsinθ-${T}_{AB}=m{{ω}_{1}}^{2}lsinθ$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{5g}{12l}}$
（2）由題意，當(dāng)ω最小時(shí)，繩AC與豎直方向的夾角α=37°，受力分析，如圖，則有
$mgtanα=m（lsinα）{{ω}_{min}}^{2}$
解得：${ω}_{min}=\sqrt{\frac{5g}{4l}}$
細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時(shí)，ω最大，設(shè)細(xì)線AC與豎直方向的夾角為β．
由幾何關(guān)系得：$cosβ=\frac{3}{5}$，得β=53°，則
$mgtanβ=m（lsinβ）{{ω}_{max}}^{2}$
解得：${ω}_{max}=\sqrt{\frac{5g}{3l}}$，
所以ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．
答：（1）若AB細(xì)線水平且拉力等于重力的一半，求此時(shí)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁的大小為$\sqrt{\frac{5g}{12l}}$；
（2）若耍使AB細(xì)線上的拉力為零，裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω的取值范圍為$\sqrt{\frac{5g}{4l}}≤ω≤\sqrt{\frac{5g}{3l}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．