Question

9．1mol的理想氣體經(jīng)歷一循環(huán)過程1-2-3-1，如p-T圖示所示，過程1-2是等壓過程，過程3-1是通過p-T圖原點(diǎn)的直線上的一段，描述過程2-3的方程為c₁p²+c₂p=T，式中c₁和c₂都是待定的常量，p和T分別是氣體的壓強(qiáng)和絕對(duì)溫度．已知，氣體在狀態(tài)1的壓強(qiáng)、絕對(duì)溫度分別為P₁和T₁，氣體在狀態(tài)2的絕對(duì)溫度以及在狀態(tài)3的壓強(qiáng)和絕對(duì)溫度分別為T₂以及p₃和T₃．氣體常量R也是已知的．
（1）求常量c₁和c₂的值；
（2）將過程1-2-3-1在p-v圖示上表示出來(lái)；
（3）求該氣體在一次循環(huán)過程中對(duì)外做的總功．

Answer 1

分析 （1）將2、3兩個(gè)狀態(tài)參量帶入題目中的方程，聯(lián)立方程組解得${c}_{1}^{\;}$，${c}_{2}^{\;}$
（2）利用氣體狀態(tài)方程表示出各狀態(tài)的體積，過程2-3和3-1方程改寫，過程3-1是等容降壓過程，1-2是等壓升溫過程，畫出符合條件的圖象
（3）氣體在一次循環(huán)中對(duì)外做的總功等于p-V圖線包圍的面積

解答 解：（1）設(shè)氣體在狀態(tài)i（i=1、2和3）下的壓強(qiáng)、體積和絕對(duì)溫度分別為${p}_{i}^{\;}$、${V}_{i}^{\;}$和${T}_{i}^{\;}$，由題設(shè)條件有：
${c}_{1}^{\;}{p}_{2}^{2}+{c}_{2}^{\;}p={T}_{2}^{\;}$…①
${c}_{1}^{\;}{p}_{3}^{2}+{c}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}={T}_{3}^{\;}$…②
由此解得：${c}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{2}^{2}{p}_{3}^{\;}-{p}_{3}^{2}{p}_{1}^{\;}}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}-{p}_{3}^{2}{p}_{1}^{\;}}$…③
${c}_{2}^{\;}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{2}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{2}}{{p}_{2}^{\;}{p}_{3}^{2}-{p}_{2}^{2}{p}_{3}^{\;}}=\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{2}-{T}_{3}^{\;}{p}_{1}^{2}}{{p}_{1}^{\;}{p}_{3}^{2}-{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}}$…④
（2）利用氣體狀態(tài)方程pV=RT，以及${V}_{1}^{\;}=R\frac{{T}_{1}^{\;}}{{p}_{1}^{\;}}$，${V}_{2}^{\;}=R\frac{{T}_{2}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}}$，${V}_{3}^{\;}=R\frac{{T}_{3}^{\;}}{{p}_{3}^{\;}}$…⑤
可將過程2-3的方程改寫為：$\frac{{V}_{2}^{\;}-{V}_{3}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}-{p}_{3}^{\;}}p=V+\frac{{V}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{V}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{2}^{\;}-{p}_{3}^{\;}}$…⑥
可見，在p-V圖示上過程2-3是以$（{p}_{2}^{\;}，{V}_{2}^{\;}）$和$（{p}_{3}^{\;}，{V}_{3}^{\;}）$為狀態(tài)端點(diǎn)的直線段，在p-T圖示中，過程3-1是通過原點(diǎn)的直線上的一段，因而描述其過程的方程為
$\frac{p}{T}={c}_{3}^{\;}$…⑦
式中，${c}_{3}^{\;}$是一常量．利用pV=RT，可將過程3-1的方程改寫為：
$V=\frac{R}{{c}_{3}^{\;}}={V}_{3}^{\;}={V}_{1}^{\;}$…⑧
這是以$（{p}_{3}^{\;}，{V}_{3}^{\;}）$和$（{p}_{1}^{\;}，{V}_{1}^{\;}）$為狀態(tài)端點(diǎn)的等容降壓過程，
綜上所述，過程1-2-3-1在p-V圖示上是一直角三角形，如圖所示

（3）氣體在一次循環(huán)過程中對(duì)外做的總功為：
$W=-\frac{1}{2}（{p}_{3}^{\;}-{p}_{1}^{\;}）（{V}_{2}^{\;}-{V}_{1}^{\;}）$…⑨
利用氣體狀態(tài)方程pV=RT和⑤式，上式即：
$W=-\frac{1}{2}R（{T}_{2}^{\;}-{T}_{1}^{\;}）（\frac{{p}_{3}^{\;}}{{p}_{1}^{\;}}-1）$…⑩
答：（1）求常量${c}_{1}^{\;}$的值為$\frac{{T}_{2}^{\;}{p}_{3}^{\;}-{T}_{3}^{\;}{p}_{2}^{\;}}{{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}-{p}_{3}^{2}{p}_{1}^{\;}}$和${c}_{2}^{\;}$的值為$\frac{{T}_{2}^{\;}{P}_{3}^{2}-{T}_{3}^{\;}{p}_{1}^{2}}{{p}_{1}^{\;}{p}_{3}^{2}-{p}_{1}^{2}{p}_{3}^{\;}}$；
（2）將過程1-2-3-1在p-v圖示上表示出來(lái)，如圖所示；
（3）求該氣體在一次循環(huán)過程中對(duì)外做的總功$-\frac{1}{2}R（{T}_{2}^{\;}-{T}_{1}^{\;}）（\frac{{p}_{3}^{\;}}{{p}_{1}^{\;}}-1）$

點(diǎn)評(píng) 本題題目長(zhǎng)，閱讀量大，解決本題的關(guān)鍵是利用氣體狀態(tài)方程的應(yīng)用，知道圖象的狀態(tài)變化的特點(diǎn)，注意在p-V圖象中，圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示做的功．