Question

如圖甲所示，M、N為豎直放置的兩塊平行金屬板，圓形虛線為與N相連且接地的圓形金屬網(wǎng)罩。PQ為與圓形網(wǎng)罩同心的金屬收集屏，通過阻值為r₀的電阻與大地相連。小孔s₁、s₂、圓心O與PQ中點(diǎn)位于同一水平線上。圓心角2θ=120°、半徑為R的網(wǎng)罩內(nèi)有大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。M、N間相距且接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓，（0tT），（t >T）（式中，T已知），質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子連續(xù)不斷地經(jīng)s₁進(jìn)入M、N間的電場(chǎng)，接著通過s₂進(jìn)入磁場(chǎng)。（質(zhì)子通過M、N的過程中，板間電場(chǎng)可視為恒定，質(zhì)子在s₁處的速度可視為零，質(zhì)子的重力及質(zhì)子間相互作用均不計(jì)。）

（1）質(zhì)子在哪些時(shí)間段內(nèi)自s₁處進(jìn)入板間，穿出磁場(chǎng)后均能打到收集屏PQ上？

（2）質(zhì)子從進(jìn)入s₁到穿出金屬網(wǎng)罩經(jīng)歷的時(shí)間記為，寫出與U_MN之間的函數(shù)關(guān)系（tanx=a 可表示為x=arctana）

（3）若毎秒鐘進(jìn)入s₁的質(zhì)子數(shù)為n，則收集屏PQ電勢(shì)穩(wěn)定后的發(fā)熱功率為多少？

 

Answer 1

解：

（1）質(zhì)子在板間運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有

                  （1分）

   質(zhì)子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有  

                                      （1分）

若質(zhì)子能打在收集屏上，軌道半徑與半徑應(yīng)滿足的關(guān)系：      （1分） 

解得板間電壓                                      （1分） 

結(jié)合圖象可知：質(zhì)子在t和tT之間任一時(shí)刻從s₁處進(jìn)入電場(chǎng)，均能打到

收集屏上                                                        （2分）                                                                    

（2）M、N間的電壓越小，質(zhì)子穿出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度越小，質(zhì)子在極板間經(jīng)歷的時(shí)間越長，同時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑越小，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也會(huì)越長，設(shè)在磁場(chǎng)中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的圓半徑為r,運(yùn)動(dòng)圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為，射出電場(chǎng)的速度為v₀,質(zhì)子穿出金屬網(wǎng)罩時(shí)，對(duì)應(yīng)總時(shí)間為t，則

  在板間電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間     （2分）

                              （1分）

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間                                    （1分）

所以，運(yùn)動(dòng)總時(shí)間＝+                        （1分）

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間（1分）   

所以，運(yùn)動(dòng)總時(shí)間＝          （2分）

（3）穩(wěn)定時(shí), 收集屏上電荷不再增加，即在t>T 時(shí)刻以后，此時(shí)，，收集屏與地面電勢(shì)差恒為U，U=Ir₀  

     單位時(shí)間到達(dá)收集板的質(zhì)子數(shù)n

單位時(shí)間內(nèi)，質(zhì)子的總能量為                 （2分）

單位時(shí)間內(nèi)屏上發(fā)熱功率為                                 （2分）

消耗在電阻上的功率為                                       （2分）

所以收集板發(fā)熱功率              （2分）