Question

9．如圖所示，一個(gè)帶$\frac{1}{4}$圓弧軌道的平臺(tái)固定在水平地面上，光滑圓弧MN的半徑為R=3.2m，水平部分NP長(zhǎng)L=3.5m，物體B靜止在足夠長(zhǎng)的平板小車C上，B與小車的接觸面光滑，小車的左端緊貼平臺(tái)的右端．從M點(diǎn)由靜止釋放的物體A滑至軌道最右端P點(diǎn)后再滑上小車，物體A滑上小車后若與物體B相碰必粘在一起，它們間無豎直作用力．A與平臺(tái)水平軌道和小車上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)都為0.4，且最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等．物體A、B和小車C的質(zhì)量均為1kg，取g=10m/s²．求：
（1）物體A進(jìn)入N點(diǎn)前瞬間對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）物體A在NP上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？
（3）物體A最終離小車左端的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出A到達(dá)N點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求物體A進(jìn)入N點(diǎn)所受的支持力，進(jìn)而由牛頓第三定律求物體對(duì)軌道N的壓力；
（2）由牛頓第二定律和位移時(shí)間公式求物體在NP上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）小車、物體A、B組成系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，然后結(jié)合動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程聯(lián)立求解．

解答 解：（1）物體A由M到N過程中，由動(dòng)能定理得：
m_AgR=$\frac{1}{2}$m_Av_N²
在N點(diǎn)，由牛頓定律得
F_N-m_Ag=m_A$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
由①、②得F_N=3m_Ag=30N
由牛頓第三定律得，物體A進(jìn)入軌道前瞬間對(duì)軌道壓力大小為：F_N′=3m_Ag=30N
（2）物體A在平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)過程中
μm_Ag=m_Aa
L=v_Nt-$\frac{1}{2}$at²
由①、⑤、⑥式得 t=0.5s    t=3.5s（不合題意，舍去）
（3）物體A剛滑上小車時(shí)速度  v₁=v_N-at=6m/s
從物體A滑上小車到相對(duì)小車靜止過程中，小車、物體A組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒，而物體B保持靜止
（m _A+m_C）v₂=m_Av₁
小車最終速度   v₂=3m/s
此過程中A相對(duì)小車的位移為L(zhǎng)₁，則$μmg{L_1}=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}×2m{v_2}^2$解得：L₁=$\frac{9}{4}m$
物體A與小車勻速運(yùn)動(dòng)直到A碰到物體B，A，B相互作用的過程中動(dòng)量守恒：
（m _A+m_B）v₃=m_Av₂
此后A，B組成的系統(tǒng)與小車發(fā)生相互作用，動(dòng)量守恒，且達(dá)到共同速度v₄
（m _A+m_B）v₃+m_Cv₂=（m_A+m_B+m_C） v₄
此過程中A相對(duì)小車的位移大小為L(zhǎng)₂，則$μmg{L_2}=\frac{1}{2}m{v_2}^2+\frac{1}{2}×2m{v_3}^2-\frac{1}{2}×3m{v_4}^2$
解得：L₂=$\frac{3}{16}m$
物體A最終離小車左端的距離為x=L₁-L₂=$\frac{33}{16}m$
答：（1）物體A進(jìn)入N點(diǎn)前瞬間對(duì)軌道的壓力大小為30N；
（2）物體A在NP上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為0.5s；
（3）物體A最終離小車左端的距離為$\frac{33}{16}m$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合運(yùn)用了牛頓第二定律、動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律，綜合性較強(qiáng)，要求能正確分析題意，明確物理過程做好受力分析，然后再選擇合適的物理規(guī)律求解即可．