Question

如圖所示，xOy坐標(biāo)系內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，x＜0區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出），y軸為電場(chǎng)右邊界-磁場(chǎng)中放置一半徑為R的圓柱形圓筒，圓心O₁的坐標(biāo)為（2R，0），圓筒軸線與磁場(chǎng)平行，現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以速度v₀從很遠(yuǎn)處垂直于y軸沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)射入y軸右側(cè)的磁場(chǎng)區(qū)，已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，不考慮打到圓筒表面的電子對(duì)射入磁場(chǎng)的電子的影響及電子間的相互作用，不計(jì)重力影響．
（1）求x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（2）若圓筒外表面各處都沒有電子打到，則電子初速度應(yīng)滿足什么條件？
（3）若電子初速度滿足v0=

3eBR

m

，則y軸上哪些范圍射入磁場(chǎng)的電子能打到圓筒上？圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比是多少？

Answer 1

分析：（1）電子子y軸左側(cè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明電場(chǎng)力好洛倫茲力平衡，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）電子進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡為半圓，臨界情況是軌跡與圓筒相切；
（3）找出兩個(gè)臨界軌跡，從O上方P點(diǎn)射入的電子剛好擦過圓筒，軌跡與圓筒下側(cè)相切，作出臨界圖，得到圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比．

解答：解：（1）由題意可得在x＜0區(qū)域內(nèi)，平行電子束做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
所以有Ee=ev₀B
解得E=v₀B 方向沿y軸負(fù)方向；
（2）如圖所示，設(shè)電子進(jìn)入磁場(chǎng)回旋軌道半徑為r，

則 ev₀B=m

v 2 0

r

若沒有電子打到圓筒表面，則r＜R 可解得v₀＜

eRB

m

（3）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有：ev₀B=m

v 2 0

r

根據(jù)題意，有：v₀=3eRBm
解得r=3R
大量電子從y軸上不同點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，臨界軌跡如圖
臨界軌跡1：從O上方P點(diǎn)射入的電子剛好擦過圓筒時(shí)；
臨界軌跡2：軌跡與圓筒下方相切；

圖中三角形O₁OP中，斜邊為4R，直角邊O₁O為2R，故OP為2

3

R，∠OO₁P=30°；
臨界軌跡1對(duì)應(yīng)的電子射入位置的縱坐標(biāo)為3R；
臨界軌跡2對(duì)應(yīng)的電子射入位置的縱坐標(biāo)為：-（2

3

R-3R）；
由圖可知，紅色圓弧對(duì)應(yīng)的表面有電子打到的區(qū)域?qū)��?yīng)的角為240°，所以圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比為2：1．
答：（1）x＜0區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為v₀B，方向沿y軸負(fù)方向；
（2）若圓筒外表面各處都沒有電子打到，則電子初速度應(yīng)滿足條件為v₀＜

eRB

m

；
（3）若電子初速度滿足v0=

3eBR

m

，則y軸上3R至-（2

3

R-3R）范圍射入磁場(chǎng)的電子能打到圓筒上；圓筒表面有電子打到的區(qū)域和圓筒表面沒有電子打到的區(qū)域的面積之比是2：1．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫出臨界軌跡是關(guān)鍵，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式分析，較難．