Question

如圖所示，質(zhì)量為m的小球自由下落高度R后沿豎直平面內(nèi)的軌道ABC運(yùn)動(dòng)．AB是半徑為R的

1

4

粗糙圓弧，BC是直徑為R的光滑半圓弧，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰為零．B是軌道最低點(diǎn)，求：
（1）小球在AB弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做的功．
（2）小球經(jīng)B點(diǎn)前、后瞬間對(duì)軌道的壓力之比．

Answer 1

分析：（1）小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰為零，由重力提供小球的向心力．小球由靜止釋放到C點(diǎn)過程，重力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解小球在AB弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做的功．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律分別求出小球經(jīng)B點(diǎn)前、后瞬間對(duì)軌道的壓力大小，再求解壓力之比．

解答：解：（1）小球在C點(diǎn)：根據(jù)牛頓第二定律得
   mg=m

v 2 C

R 2

小球由靜止釋放到C點(diǎn)過程，據(jù)動(dòng)能定理得
  mgR+W_f=

1

2

mv_C²
聯(lián)立解得W_f=-

3

4

mgR    
（2）小球由靜止釋放到B點(diǎn)過程，據(jù)動(dòng)能定理得
  2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B點(diǎn)前瞬間據(jù)牛頓第二定律得
   F_N前-mg=m

v 2 B

R

在B點(diǎn)后瞬間據(jù)牛頓第二定律得
   F_N后-mg=m

v 2 B

R 2

由牛頓第三定律知，小球?qū)�軌道的壓力大小等于軌道�?duì)小球的支持力大小．
聯(lián)立解得 F_N前：F _N后=7：12   
答：
（1）小球在AB弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做的功為-

3

4

mgR．
（2）小球經(jīng)B點(diǎn)前、后瞬間對(duì)軌道的壓力之比為7：12．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)能定理與向心力知識(shí)的綜合，小球恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)臨界速度要會(huì)用牛頓第二定律進(jìn)行推導(dǎo)．小球經(jīng)過B點(diǎn)前后，由于軌道半徑變化，導(dǎo)致向心力變化，軌道所受的壓力大小也發(fā)生了變化．