Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了 LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見星 A和不可見的暗星 B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的 O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常 量為 G，由觀測能夠得到可見星 A的速率 v和運行周期 T。

（1）可見星 A所受暗星 B的引力 F_A 可等效為位于 O點處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點）

對它的引力，設 A和 B的質(zhì)量分別為 m₁、m₂，試求（用 m₁、m₂ 表示）；

（2）求暗星 B的質(zhì)量 m₂ 與可見星 A的速率 v、運行周期 T和質(zhì)量 m₁ 之間的關系式；

（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量 m_s 的 2倍，它 將有可能成為黑洞。若可見星 A的速率 v=2.7×10 ⁵ m/s，運行周期 T=4.7π×10 ⁴ s，質(zhì)量 m₁=6m_s，試通過估算來判斷暗星 B有可能是黑洞嗎？

（G=6.67×10 ^－11 N·m ² /kg ² ，m_s=2.0×10 ³⁰ kg）

Answer 1

解: （1）設 A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速 度相同，設其為。由牛頓運動定律，有

設 A、B之間的距離為，又，由上述各式得

，                 ①

由萬有引力定律，有

               

將①代入得

               

令

               

比較可得

                             ②