Question

16．科技館有一套兒童喜愛的機(jī)械裝置，其結(jié)構(gòu)簡圖如下：傳送帶AB部分水平，其長度L=1.2m，傳送帶以3m/s的速度順時針勻速轉(zhuǎn)動，大皮帶輪半徑r=0.40m，其下端C點與圓弧軌道DEF的D點在同一水平線上，E點為圓弧軌道的最低點，圓弧EF對應(yīng)的圓心角θ=37°且圓弧軌道的半徑R=0.50m，F(xiàn)點和傾斜傳送帶GH的下端G點平滑連接，傾斜傳送帶GH長為x=4.45m，其傾角θ=37°．某同學(xué)將一質(zhì)量為0.5kg且可以視為質(zhì)點的物塊靜止放在水平傳送帶左端A處，物塊經(jīng)過B點后恰能無碰撞地從D點進(jìn)入圓弧軌道部分，當(dāng)經(jīng)過F點時，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，然后物塊滑上傾斜傳送帶GH．已知物塊與所有的接觸面間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，$\sqrt{7.2}$=2.68，求：
（1）物塊由A到B所經(jīng)歷的時間；
（2）DE弧對應(yīng)的圓心角α為多少；
（3）若要物塊能被送到H端，傾斜傳送帶順時針運轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件及物塊從G端到H端所用時間的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對物體做受力分析可知，物體在傳送帶上在摩擦力的作用下做加速運動，由牛頓第二定律求出加速度，然后由運動學(xué)的公式求出時間；
（2）先求出物體在B點做平拋運動的臨界條件，然后對B點飛出后的平拋運動規(guī)律進(jìn)行分析可求得DE弧對應(yīng)的圓心角α為多少；
（3）結(jié)合向心力的公式，求出物體到達(dá)F點的速度，然后由受力分析求出物體在傾斜的傳送帶上的受力和加速度，結(jié)合運動學(xué)的公式即可求解．

解答 解：（1）放在水平傳送帶上的物體受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛頓第二定律得：
ma₁=μmg
所以：${a}_{1}=μg=0.5×10=5m/{s}^{2}$
物體加速到3m/s的時間：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{3}{5}=0.6$s
在加速階段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×0．{6}^{2}=0.9$m＜1.2m
物體做勻速直線運動的時間：${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{1.2-0.9}{3}=0.1$s
物塊由A到B所經(jīng)歷的時間：t=t₁+t₂=0.6+0.1=0.7s
（2）若物體能在B點恰好離開傳送帶做平拋運動，則滿足：
$mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{gr}=10×0.4=2$m/s＜3m/s
所以物體能夠在B點離開傳送帶做平拋運動，平拋運動的時間：
${t}_{3}=\sqrt{\frac{2×2r}{g}}=\sqrt{\frac{2×2×0.4}{10}}=0.4$s
到達(dá)D點時物體沿豎直方向的分速度：v_y=gt₃=10×0.4=4m/s
到達(dá)D點時物體的速度與水平方向之間的夾角：$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{4}{3}$
所以：α=53°如圖：
即DE弧對應(yīng)的圓心角α為53°
（3）當(dāng)經(jīng)過F點時，圓弧給物塊的摩擦力f=14.5N，所以物體在F點受到的支持力：
${F}_{N}=\frac{f}{μ}=\frac{14.5}{0.5}=29$N
物體在F點時，支持力與重力的分力提供向心力得：
${F}_{N}-mgcos37°=\frac{m{v}_{3}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：v₃=5m/s
物體在傾斜的傳送帶上受到重力、支持力和滑動摩擦力的作用，滑動摩擦力：
f′=μmgcos37°=0.5×0.5×10×0.8=2N
重力沿斜面向下的分力：F_x=mgsin37°=0.5×10×0.6=3N＞f′
可知物體不可能相對于傳送帶靜止，所以物體在傳送帶上將一直做減速運動．物體恰好到達(dá)H點時的速度為0．
Ⅰ、若傳送帶的速度大于等于物體在F點的速度，則物體受到的摩擦力的方向向上，物體一直以不變的加速度向上做減速運動；此時：
ma₃=F_x-f′，${a}_{3}=\frac{{F}_{x}-f′}{m}=\frac{3-2}{0.5}=2m/{s}^{2}$
物體的位移為：$x={v}_{3}t′-\frac{1}{2}{a}_{3}t{′}^{2}$
即：4.45=5t′-$\frac{1}{2}×2×t{′}^{3}$
代入數(shù)據(jù)解得：t′=1.16s，（或t′=3.84s．該時間不和題意，要舍去）
Ⅱ、若傳送帶的速度小于物體在F點的速度，則物體先相對于傳送帶向上運動，受到的摩擦力的方向向下；當(dāng)物體的速度小于傳送帶的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物體繼續(xù)向上做減速運動，加速度的大小發(fā)生變化．
設(shè)物體恰好能到達(dá)H點時，傳送帶的速度是v_min，且v_min＜v₃，物體到達(dá)H點的速度為0．
物體的速度大于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向下，此時：
ma₂=f′+F_x=2+3=5N，則：${a}_{2}=\frac{5}{0.5}=10m/{s}^{2}$
物體的速度小于傳送帶的速度時，物體受到的摩擦力的方向向上，則：
${a}_{3}=\frac{{F}_{x}-f′}{m}=\frac{3-2}{0.5}=2m/{s}^{2}$
物體向上的減速運動若反過來看，也可以是向下是加速運動，初速度為0，末速度為v₃，設(shè)下面的一段時間為t₄，上面的一段時間為t₅，可得：
v₃t₅=v_min，v_min+a₂t₄=v₃，$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{5}^{2}+（{v}_{3}{t}_{4}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{4}^{2}）=x$
聯(lián)立以上三式，代入數(shù)據(jù)得：t₄=0.1s，t₅=2.0s，v_min=4m/s
物體從F點運動到H點的總時間：t″=t₄+t₅=0.1+2.0=2.1s
綜合以上的分析可知，若要物體能夠到達(dá)H點，傳送帶的速度贏滿足：v≥4m/s，物體運動的時間范圍是：1.16s≤t≤2.1s．
答：（1）物塊由A到B所經(jīng)歷的時間是0.7s；
（2）DE弧對應(yīng)的圓心角α為53°；
（3）若要物塊能被送到H端，傾斜傳送帶順時針運轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足的條件是v≥4m/s，物塊從G端到H端所用時間的取值范圍是：1.16s≤t≤2.1s．

點評 本題借助于傳送帶問題考查牛頓運動定律的綜合應(yīng)用、平拋運動及圓周運動的規(guī)律，要求能正確分析物體的運動過程，并能準(zhǔn)確地進(jìn)行受力分析，選擇合適的物理規(guī)律求解．
傳送帶的問題是牛頓運動定律的綜合應(yīng)用中比較復(fù)雜的問題，該題竟然有兩個傳送帶，題目的難度太大．