Question

20．為了對(duì)火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國于2011年10月發(fā)射第一顆火星探測(cè)器“螢火一號(hào)”．已知火星球體半徑為R，探測(cè)器在離火星表面某高度的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)周期為T．假設(shè)在距火星表面某處將一小球以初速度v₀豎直向上拋出，小球經(jīng)時(shí)間t落回拋出點(diǎn)．已知引力常量為G，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)和已知量，計(jì)算出探測(cè)器圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距離火星表面的高度H．

Answer 1

分析 以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球的加速度，即為火星表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力與重力近似相等，求出火星的質(zhì)量．再對(duì)探測(cè)器研究，根據(jù)萬有引力提供力向心力，由牛頓第二定律求出探測(cè)器圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距離火星表面的高度H．

解答 解：小球在火星表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則有
  0=v₀-g$•\frac{t}{2}$
可得火星表面的重力加速度 g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
當(dāng)探測(cè)器圍繞火星運(yùn)動(dòng)時(shí)有
  G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
若探測(cè)器在火星表面上有：
  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
聯(lián)立以上各式解得 H=$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}}{2{π}^{2}t}}$-R
答：探測(cè)器圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距離火星表面的高度H為$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}}{2{π}^{2}t}}$-R．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)計(jì)算出火星表面的重力加速度．本題還要知道探測(cè)器繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星對(duì)探測(cè)器的萬有引力提供向心力，并且要能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．