Question

20．為了對火星及其周圍的空間環(huán)境進行探測，我國于2011年10月發(fā)射第一顆火星探測器“螢火一號”．已知火星球體半徑為R，探測器在離火星表面某高度的圓軌道上運動時周期為T．假設(shè)在距火星表面某處將一小球以初速度v₀豎直向上拋出，小球經(jīng)時間t落回拋出點．已知引力常量為G，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)和已知量，計算出探測器圍繞火星做圓周運動時距離火星表面的高度H．

Answer 1

分析 以小球為研究對象，根據(jù)豎直上拋運動的規(guī)律求出小球的加速度，即為火星表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力與重力近似相等，求出火星的質(zhì)量．再對探測器研究，根據(jù)萬有引力提供力向心力，由牛頓第二定律求出探測器圍繞火星做圓周運動時距離火星表面的高度H．

解答 解：小球在火星表面做豎直上拋運動，則有
  0=v₀-g$•\frac{t}{2}$
可得火星表面的重力加速度 g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
當探測器圍繞火星運動時有
  G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
若探測器在火星表面上有：
  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
聯(lián)立以上各式解得 H=$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}}{2{π}^{2}t}}$-R
答：探測器圍繞火星做圓周運動時距離火星表面的高度H為$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}}{2{π}^{2}t}}$-R．

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)豎直上拋運動計算出火星表面的重力加速度．本題還要知道探測器繞火星做勻速圓周運動，火星對探測器的萬有引力提供向心力，并且要能根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．