Question

5．為了探測Z星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，線速度為v₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，則下列正確的（　�。�

• A． Z星球的質(zhì)量為M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{2}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陸艙的圓軌道r₁=$\frac{{v}_{1}{T}_{1}}{2π}$
• C． 登陸艙在r₁與r₂軌道上運動是的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}}$
• D． 登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合登陸艙的軌道半徑和周期求出Z星球的質(zhì)量．根據(jù)登陸艙的線速度和周期求出登陸艙的圓軌道半徑．根據(jù)萬有引力提供向心力，得出線速度和周期之比，結(jié)合周期之比求出登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期．

解答 解：A、探測飛船在以該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，根據(jù)$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，Z星球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A錯誤．
B、登陸艙的圓軌道半徑${r}_{1}=\frac{{v}_{1}{T}_{1}}{2π}$，故B正確．
C、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，則登陸艙在r₁與r₂軌道上運動是的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故C錯誤．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，則登陸艙在半徑為r₂軌道上做圓周運動的周期與T₁之比為$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，則${T}_{2}={T}_{1}\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故D錯誤．
故選：B．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道登陸艙做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，求解時注意軌道半徑和周期、線速度要對應(yīng)．