Question

9．如圖，固定在水平桌面上的“∠”型平行導(dǎo)軌足夠長，間距L=1m，電阻不計．傾斜導(dǎo)軌的傾角θ=53°，并與R=2Ω的定值電阻相連．整個導(dǎo)軌置于磁感應(yīng)強度B=5T、方向垂直傾斜導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場中．金屬棒ab、cd的阻值為R₁=R₂=2Ω，cd棒質(zhì)量m=1kg．a(chǎn)b與導(dǎo)軌間摩擦不計，cd與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.3，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．現(xiàn)讓ab棒從導(dǎo)軌上某處由靜止釋放，當(dāng)它滑至某一位置時，cd棒恰好開始滑動．
（1）求此時通過ab棒的電流；
（2）求導(dǎo)體棒cd消耗的熱功率與ab棒克服安培力做功的功率之比；
（3）若ab棒無論從多高的位置釋放，cd棒都不動，則ab棒質(zhì)量應(yīng)小于多少？
（4）假如cd棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)可以改變，則當(dāng)動摩擦因數(shù)滿足什么條件時，無論ab棒質(zhì)量多大、從多高位置釋放，cd棒始終不動？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)右手定則判斷出ab棒產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向，確定出cd棒中感應(yīng)電流方向，分析cd棒的受力情況，由平衡條件求解電流．
（2）根據(jù)題意畫出等效電路如圖所示：電阻R與cd棒并聯(lián)，分析各部分電流關(guān)系，由功率公式求解即可．
（3）抓住ab棒勻速運動，cd棒都未滑動，分別對ab棒和cd棒分析，抓住cd棒安培力在水平方向上的分力小于最大靜摩擦力，求出ab棒質(zhì)量滿足的條件．
（4）ab棒下滑時，cd棒始終靜止，安培力的水平分力小于等于其最大靜摩擦力，列出式子．當(dāng)ab棒質(zhì)量無限大，在無限長軌道上最終一定勻速運動，安培力F_A趨于無窮大，cd棒所受安培力F_A^ˊ亦趨于無窮大，討論分析得解．

解答 解：（1）ab棒沿斜面滑下切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向是b→a，通過cd棒的電流方向如圖c→d．cd棒剛要開始滑動時，其受力分析如圖所示．
由平衡條件得：BIL_cdcos53°=f
由摩擦力公式得：f=μN，N=mg+BIL_cdsin53°
聯(lián)立以上三式，得：I_cd=1.67A，I_ab=2I_cd=3.34A 
（2）根據(jù)題意畫出等效電路如圖所示：
設(shè)I_cd=I，因為電阻R與cd棒并聯(lián)，故電阻R上產(chǎn)生的熱功率與cd棒產(chǎn)生的熱功率相等，即：${P_R}={P_{cd}}={I^2}R$
又因為流經(jīng)ab棒的電流為2I，故ab棒產(chǎn)生的熱功率為：${P_{ab}}=4{I^2}R$
整個回路產(chǎn)生的熱功率為：P=6I²R
又因為回路中消耗的熱功率源于ab棒克服安培力做功，所以導(dǎo)體棒cd消耗的熱功率與ab棒克服安培力做功的功率之比為：
 $\frac{Pcd}{PFA}$=$\frac{{{P_{cd}}}}{{{P_F}_A}}=\frac{{{I^2}R}}{{6{I^2}R}}=\frac{1}{6}$                       
（3）ab棒在足夠長的軌道下滑時，最大安培力只能等于自身重力的分力，有：F_A=mg_absin53°
cd棒所受最大安培力應(yīng)為$\frac{1}{2}{F_A}$，要使cd棒不能滑動，需：$\frac{1}{2}{F}_{A}cos53°$≤μ（mg+$\frac{1}{2}{F}_{A}sin53°$）
由以上兩式聯(lián)立解得：m_ab≤2.08kg                       
（4）ab棒下滑時，cd棒始終靜止，有：$\frac{1}{2}$F_Acos53°≤μ（mg+$\frac{1}{2}$F_Asin53°）
解得：μ≥$\frac{\frac{1}{2}{F}_{A}cos53°}{mg+\frac{1}{2}{F}_{A}sin53°}$=$\frac{cos53°}{\frac{mg}{{F}_{A}}+sin53°}$
當(dāng)ab棒質(zhì)量無限大，在無限長軌道上最終一定勻速運動，安培力F_A趨于無窮大，cd棒所受安培力F_A^ˊ亦趨于無窮大，有：μ≥$\frac{cos53°}{sin53°}$=0.75    
答：（1）此時通過ab棒的電流為3.34A；
（2）導(dǎo)體棒cd消耗的熱功率與ab棒克服安培力做功的功率之比為1：6；
（3）若ab棒無論從多高的位置釋放，cd棒都不動，則ab棒質(zhì)量應(yīng)小于2.08kg．
（4）假如cd棒與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)可以改變，則當(dāng)動摩擦因數(shù)滿足μ≥0.75的條件時，無論ab棒質(zhì)量多大、從多高位置釋放，cd棒始終不動．

點評 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識、電路的綜合，要能夠正確地受力分析，抓住臨界情況，結(jié)合共點力平衡和能量守恒進行求解．