Question

拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖）。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。

（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小。

（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ₀，若θ≤θ₀，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tanθ₀。

Answer 1

解：（1）設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把，將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有：        ①

                     ②

式中和分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力。按摩擦定律有

                      ③

聯(lián)立①②③式得    ④

（2）若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有

    ⑤

這時(shí)①式仍滿足。聯(lián)立①⑤式得

    ⑥

現(xiàn)考察使上式成立的角的取值范圍。注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)無限大時(shí)極限為零，有

  ⑦

使上式成立的角滿足，這里是題中所定義的臨界角，即當(dāng)時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把。臨界角的正切為  ⑧